微積分(曹定華)(修訂版)課后題答案第三章習(xí)題詳解(編輯修改稿)
2025-02-05 08:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ： 15 解得 (*)式兩邊再對 x求導(dǎo)，得： yeye2y 得： ； (3) 方程兩邊對 x求導(dǎo)，得： 可解得： ) ； (4) 方程兩邊對 x求導(dǎo)，得： 可解得 5． 求下列由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) d2y dx2： 16 為常數(shù)； 其中 f″(t)存在且非０． 解： 得到參數(shù)方程 故 ； 得到參數(shù)方程 故 d2y6． 已知 f″(x)存在，求 2： dx (1) y=f(x)； (2) y=lnf(x),f(x)＞０． 解： (1)? 7． 試用數(shù)學(xué)歸納法證明萊布尼茨高階導(dǎo)數(shù)公式： 若 u=u(x)和 v＝ v(x)在點 x處有 n階導(dǎo)數(shù)，則 ? 17 (uv)＝ n ， 其中 u=u,v=v, Ck n＝ ． k! 證：當(dāng) 時，由 知公式成立， 設(shè)當(dāng)時公式成立，即 兩邊求導(dǎo)，得 1uv, 即 時公式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，對于一切自然數(shù) n公式都成立， 即 習(xí)題 34 1． 在括號 )＝ costdt。 (2) d( )＝ sinωxdx。 (3) d( )＝d( )＝ edx； (5) d( ) ２ dx。 (6) d( )＝ sec３ xdx。 1lnxdx。 (8) d( ) dx． x(7) d( )＝ 解： 18 xlnxdx 2． 根據(jù)下面所給的值，求函數(shù) y=x２＋１的 Δy,dy及 Δydy： (1) 當(dāng) x=1,Δx=0． 1時； (2) 當(dāng) x=1,Δx=0． 01時． 解： (1)當(dāng) 時， (2)當(dāng) 時， 3． 求下列函數(shù)的微分： (1) y=xex。 (2) y=lnx x。 (3) y= (4) y=5lntanx； ； (6) y=8xx2x 246e； (7) y (arctanx)2． 解： 19 x2dx. tan(x 2) 20 4． 求由下列方程確定的隱函數(shù) y=y(x)的微分 dy： (1) y=1+xey； (2) x2y2 ； (3) y=x+1 2siny； (4) y2－ x=arccosy． 解： (1)方程兩邊微分，得： ，即 (2) 方程兩邊微分，得： 2x x a2ydx (3) 方程兩邊微分，得： 2d(siny) 即： (4) 方程兩邊微分，得： 即 ． 利用微分求下列各數(shù)的近似值： (2) ； (3) ． 解 (1) 設(shè) 3x3 21 令 ， (2)設(shè) ，則 令 ， 則 (3)設(shè) ，則 令 ， 則 6． 試利用結(jié)論 “若 f(x)可導(dǎo)，則當(dāng)｜ x｜很小時，有 f(x)≈f(0)+f′(0)x”，證明下列近似公式． (1) 當(dāng)｜ x｜很小時， sinx≈x； (2) 當(dāng)｜ x｜很小時， ex≈1+x； (3) 設(shè) a＞ 0且｜ b｜與 an相比是很小的量，則 a+b． 證： (1)設(shè) ，則 當(dāng) x 很小時，由 有即 (2)設(shè) 則 f’(x) x00 當(dāng) x很小時，由 有 即 很小 與 a相比是很小的量， 22 設(shè) 當(dāng) x很小時，由 有 上式中取 ，且 習(xí)題 35 1． 設(shè)總收入和總成本分別由以下兩式給出： 2R(q)=5q0． 003q， C(q)=300+1． 1q． 其中 q 為產(chǎn)量， 0≤q≤1000，求 (1)邊際成本； (2)獲得最大利潤時的產(chǎn)量； (3)怎樣的生產(chǎn)量盈虧平衡． 解： (1)邊際成本函數(shù) 2 (2)利潤函數(shù) 當(dāng) 時， L(q)最大 即獲得最大利潤時的產(chǎn)量為 650. (3)當(dāng) 時，盈虧平衡 . 由 得 即 解得 ，舍去） 所以，當(dāng)產(chǎn)量為 23 2． 設(shè)生產(chǎn) q件產(chǎn)品的總成本 C(q)由下式給出 32C(q)=0． 01q0． 6q+13q． (1) 設(shè)每件產(chǎn)品的價格為 7元，企業(yè)的最大利潤是多少 ? (2) 當(dāng)固定生產(chǎn)
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