【文章內容簡介】 ，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 證明：G是交換群。證明:x,y∈G，設x=ak,y=al，則xy=akal=ak+l==al+k=alak=yx 所以，G是交換群，證明e為G中唯一的冪等元。22證明:設e0206。G也是冪等元，則e0=e0，即e0=e0e，由消去律知e0=e，a,b,c∈G,證明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 證明：先證設(abc)k=e219。(bca)k=e 設(abc)k=e,則(abc)(abc)(abc)L(abc)=e，即a(bc)(abc)(abc)La(bc)aa1=e 左邊同乘a1，右邊同乘a得(bca)(bca)(bca)L(bca)=(bac)k=a1ea=e反過來，設(bac)k=e,則(abc)k=，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣：偶數(shù)階群G必含2階元。證明：設群G不含2階元，a206。G，當a=e時，a是一階元，當a185。e時，a至少是3階元,因為群G時有限階的，所以a是有限階的，設a是k階的,則a1也是k階的，所以高于3階的元成對出現(xiàn)的，G不含2階元，G含唯一的1階元e,這與群G是偶數(shù)階的矛盾。所以，偶數(shù)階群G必含2階元，證明G中存在非單位元a和b,a≠b,且ab=：先證明G含至少含3階元。若G只含1階元,則G={e},G為Abel群矛盾；若G除了1階元e外,其余元a均為2階元，則a2=e，a1=aa,b206。G,a1=a,b1=b,(ab)1=ab,所以ab=a1b1=(ba)1=ba，與G為Abel群矛盾；所以，G含至少含一個3階元，設為a，則a185。a2，且a2a=aa2。令b=a2的證。(R)上的加法群，n≥2，判斷下述子集是否構成子群。（1）全體對稱矩陣 是子群（2）全體對角矩陣 是子群（3）（4）全體上（下）三角矩陣。是子群，a是G中給定元素，a的正規(guī)化子N（a）表示G中與a可交換的元素構成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 證明N（a）構成G的子群。證明：ea=ae,e206。N(a)185。fx,y206。N(a),則ax=xa,ay=yaa(xy)=(ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a,所以xy206。N(a)由ax=xa，得x1axx1=x1xax1,x1ae=eax1，即x1a=ax1，所以x1206。N(a)所以N（a）構成G的子群，j2是G2到G3的同態(tài)，證明j1oj2是G1到G3的同態(tài)。證明：有已知j1是G1到G2的函數(shù)，j2是G2到G3的函數(shù)，則j1j2是G1到G3的函數(shù)。a,b206。G1,(j1oj2)(ab)=j2(j1(ab))=j2(j1(a)j1(b))=(j2(j1(a)))(j2(j1(b)))=(j1oj2)(a)(j1oj2)(b)所以:j1j2是G1到G3的同態(tài)。，說明阿貝爾群是否一定為循環(huán)群，并證明你的結論。證明：設G是循環(huán)群,令G=,x,y206。G,令x=ak,y=al,那么xy=akal=ak+l=al+k=alak=yx,G是阿貝爾群克萊因四元群,G={e,a,b,c}oeeabceabcaaecb bbceaccbae是交換群,但不是循環(huán)群,因為e是一階元，a,b,c是二階元。,t是5元置換，且230。12345246。230。12345246。s=231。231。21453247。247。，t=231。231。34512247。247。232。248。232。248。(1)計算st,ts,t1,s1,s1ts；(2)將ts,t1,s1ts表成不交的輪換之積。(3)將（2）中的置換表示成對換之積，并說明哪些為奇置換，哪些為偶置換。230。12345246。230。12345246。1230。12345246。247。231。解：(1)ts=231。 st=231。45321247。231。43125247。247。 t=231。231。45123247。247。232。248。232。248。232。248。s1230。12345246。230。12345246。1=231。231。21534247。247。 sts=231。231。54132247。247。 232。248。232。248。)t1=(14253(2)ts=(1425)(25))s1ts=(143(3)ts=(14)(12)(15)奇置換，t1=(14)(12)(15)(13)偶置換s1ts=(14)(13)(25)奇置換第四篇：離散數(shù)學習題及答案離散數(shù)學考試試題（A卷及答案）一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，則D留下。解設A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應有：A174。C197。D，216。(B∧C)，C174。216。D必須同時成立。因此(A174。C197。D)∧216。(B∧C)∧(C174。216。D)219。(216。A∨(C∧216。 D)∨(216。C∧D))∧(216。B∨216。C)∧(216。C∨216。D)219。(216。A∨(C∧216。 D)∨(216。C∧D))∧((216。B∧216。C)∨(216。B∧216。D)∨216。C∨(216。C∧216。D))219。(216。A∧216。B∧216。C)∨(216。A∧216。B∧216。D)∨(216。A∧216。C)∨(216。A∧216。C∧216。D)∨(C∧216。 D∧216。B∧216。C)∨(C∧216。 D∧216。B∧216。D)∨(C∧216。 D∧216。C)∨(C∧216。 D∧216。C∧216。D)∨(216。C∧D∧216。B∧216。C)∨(216。C∧D∧216。B∧216。D)∨(216。C∧D∧216。C)∨(216。C∧D∧216。C∧216。D)219。F∨F∨(216。A∧216。C)∨F∨F∨(C∧216。 D∧216。B)∨F∨F∨(216。C∧D∧216。B)∨F∨(216。C∧D)∨F 219。(216。A∧216。C)∨(216。B∧C∧216。 D)∨(216。C∧D∧216。B)∨(216。C∧D)219。(216。A∧216。C)∨(216。B∧C∧216。 D)∨(216。C∧D)219。T故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。解：論域：所有人的集合。S(x)：x是專家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；則推理化形式為：x(S(x)∧W(x))，$xY(x)$x(S(x)∧Y(x))下面給出證明：(1)$xY(x)P(2)Y(c)T(1)，ES(3)x(S(x)∧W(x))P(4)S(c)∧W(c)T(3)，US(5)S(c)T(4)，I(6)S(c)∧Y(c)T(2)(5)，I(7)$x(S(x)∧Y(x))T(6)，EG三、（10分）設A、B和C是三個集合，則A204。B222。216。(B204。A)。證明：A204。B219。x(x∈A→x∈B)∧$x(x∈B∧x207。A)219。x(x207。A∨x∈B)∧$x(x∈B∧x207。A)219。216。$x(x∈A∧x207。B)∧216。x(x207。B∨x∈A)222。216。$x(x∈A∧x207。B)∨216。x(x∈A∨x207。B)219。216。($x(x∈A∧x207。B)∧x(x∈A∨x207。B))219。216。($x(x∈A∧x207。B)∧x(x∈B→x∈A))219。216。(B204。A)。四、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。解r(R)＝R∪IA＝{，，，，，}s(R)＝R∪R＝{，，，，} R＝{，，，}R＝{，，，}R＝{，，，}＝Rt(R)＝URi＝{，，，，，15}。五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。證明對任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對稱的。下證對任意正整數(shù)n，R對稱。因R對稱，則有xRy219。$z(xRz∧zRy)219。$z(zRx∧yRz)219。yRx，所以R對稱。若Rn對稱，則xRn+1y219。$z(xRnz∧zRy)219。$z(zRnx∧yRz)219。yRn+1x，所以Rn+1對稱。因此，對任意正整數(shù)n，Rn對稱。對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRy，于是有yRx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對稱的。六、（10分）若f：A→B是雙射，則f：B→A是雙射。證明因為f：A→B是雙射，則f是B到A的函數(shù)。下證f是雙射。對任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y(tǒng)，從而f(y)＝x，所以f是滿射。對任意的yy2∈B，若f(y1)＝f(y2)＝x，則f(x)＝y(tǒng)1，f(x)＝y(tǒng)2。因為f：A→B是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以f是單射。綜上可得，f：B→A是雙射。七、（10分）設是一個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。證明因為是一個半群，對任意的b∈S，由*的封閉性可知，b＝b*b∈S，b＝b*b∈S，…，bn∈S，…。因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得bi＝bj。令p＝j－i，則bj＝bp*bj。所以對q≥i，有bq＝bp*bq。因為p≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對于bkp∈S，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝…＝232－1－1－1－1－1－1－1－1－1mm222nbkp*bkp。令a＝bkp，則a∈S且a*a＝a。八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個