多元函數(shù)微分學(xué)ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-05-03 22:04本頁(yè)面
【正文】 ? 在拋物線 xy 42 ? 上點(diǎn))2,1( 處 , 沿著這拋物線在該點(diǎn)處偏向 x 軸正向的切線方向的方向?qū)?shù) . 解 ?? s i n1c os1)2,1()2,1( yxyx ????例 4 ，42 ??yy ，1)2,1( ??y拋物線 xy 42 ? 上點(diǎn) )2,1( 處的切向量 ( 偏向 x 軸正向 ) 為 ,}11{})1(,1{ ，??? yT? 單位化 ,}11{210 ，?T??? s i n)2,1(c os)2,1()1,1(yx fflf ??????.32?55 對(duì)于三元函數(shù) ),( zyxfu ? ，它在空間一點(diǎn)),( zyxP 沿著方向 L 的方向?qū)?shù)為 三元函數(shù)的方向?qū)?shù) ，??? c osc osc oszfyfxflf???????????其中 ??? , 為方向 L 的方向角 . 方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)的推廣，偏導(dǎo)數(shù)是特定方向的方向?qū)?shù)。 56 求導(dǎo)數(shù) xzzyyxzyxf 222),( ??? 在點(diǎn) )1,1,1( 處沿方向 kjil??????? 2 的方向?qū)?shù)。 解 將 l?單位化，得 kjil????6162610 ??? ， 例 5 所求方向?qū)?shù) ??? c osc osc os zfyfxflf ???????????,3|)2()1,1,1( )1,1,1(2 ???? zxyf x,3)1,1,1()1,1,1( ???? zy ff.0613623613 ?????????lf由對(duì)稱性可得 57 設(shè) n?是曲面 632222??? zyx 在點(diǎn) )1,1,1(P 處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù) 2122)86(1yxzu ?? 在此處沿方向 n?的方向?qū)?shù) . 解 令 ,632),( 222 ???? zyxzyxFPzyx FFFn },{ ????? }2,6,4{?例 6 ，}1,3,2{141//PP yxzxxu22 866???? 。146?PP yxzyyu22 868???? 。148?PP zyxzu222 86 ????? .14??.711?故 PP zuyuxunu )c o sc o sc o s( ?????????????? ?58 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn) DyxP ?),( ，都可定出一個(gè)向量 jyfixf ???????，這向量稱為函數(shù)),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( yxP 的 梯度 ，記為 二、梯度 .),(gr ad jyfixfyxf ????????gradient 59 在點(diǎn) ),( 000 yxP 處沿方向 }s i n,c o s{ ???l? 的方向?qū)?shù) 當(dāng) 0?? , 即 |g r a d|g r a d ffl ??時(shí) , 方向?qū)?shù)取到最大值 |g r a d| flz???, 即沿梯度方向函數(shù)值增加最快 ； ?? c os),(c os),( 0000 ???????? yxfyxflz yxlyxf ??? ),(g r a d 00 ，?c o s|g r a d| f?其中 ),g r a d( lf ???當(dāng) ?? ? , 即 |g r a d|g r a d ffl ???時(shí) , 方向?qū)?shù)取到最小值 |g r a d| flz????, 即沿梯度相反方向函數(shù)值 減少最快 . 60 ),( yxfz ?在幾何上 表示一個(gè)曲面 , 曲面被平面 截得曲線 cz ? ,),(?????czyxfz所得曲線在 xoy面上投影如圖 oyx2),( cyxf ?1),( cyxf ?cyxf ?),( 等高線 ),(g r a d yxf梯度為等高線上的法向量 P,),( cyxf ?,0dd ?? yfxf yx,}d,d{ yx切向量61 等高線的畫(huà)法 播放 62 圖形及其等高線圖形．函數(shù) xyz s i n?例如 , 63 三元函數(shù) ),( zyxfu ? 在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn) GzyxP ?),( ，都可定義一個(gè)向量 ( 梯度 ) },{),(g r ad zyx fffkzfjyfixfzyxf ????????????? ???三元函數(shù)的梯度 64 },{),(g r ad zyx fffkzfjyfixfzyxf ????????????????例 7 設(shè)函數(shù) 222),( zyxzyxf ??? , 求 )2,1,1(g r a d ?f . 解 },{g r a dzyx ffff ???? ，}2,2,2{ zyx?.}4,2,2{)2,1,1(g r a d ???f所以 65 求函數(shù) 22),( yzxyzyxf ?? 在點(diǎn) )1,1,2(0 ?P處的梯度及它在梯度方向的方向?qū)?shù)。 },{),(g r ad zyx fffkzfjyfixfzyxf ????????????????例 8 解 },{g r a dzyx ffff ???? ，}2,2,{22 yzzxyy ??.}2,3,1{)1,1,2(g r a d ????f所以 f 在梯度方向的方向?qū)?shù)為 .14)2()3(1|)1,1,2(g r a d| 222 ???????f這是 ),( zyxf 在點(diǎn) )1,1,2(0 ?P 處的最大的方向?qū)?shù)。 66 梯度的性質(zhì) (1) 若 f， g為可微數(shù)量函數(shù)，則 )(g r a d)(g r a d)(g r a d gfgf ???)(g r a d)(g r a d)(g r a d ( 2 ) gffggf ?????( 3) 若 )( uf 為可微函數(shù) , 且 ),( zyxuu ? 為可微函數(shù) , 則 )(g r a d)()(g r a d uufuf ???當(dāng) ),( zyxf 是一個(gè)數(shù)量值函數(shù)時(shí)，由 ),( zyxf 可產(chǎn)生出一個(gè)向量值函數(shù) kzfjyfixff????????????)(g r a d ，稱此向量值 函數(shù) 為數(shù)量場(chǎng) ),( zyxf 產(chǎn)生的 梯度場(chǎng) 。 67 練習(xí)： P83 習(xí)題 1.
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