[理學(xué)]第二章一元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題課-資料下載頁(yè)
2024-12-08 01:11本頁(yè)面
【正文】 ln 2 ) 2 2 ln 2 .fa? ? ?l i m ( ) l i m ( ) .xx f x f x? ? ? ? ? ?? ? ? ?又( ln 2 ) 0 ,f?? 2 2 ln 2 .a? ? ?3 0 0 1 ( 1 ) ln ( 1 ) .xx e x x? ? ? ? ?例 證 明 ， 時(shí) ，( ) 1 ( 1 ) ln ( 1 ) .xf x e x x? ? ? ? ?證 明 ： 設(shè)39。( ) 1 ln ( 1 ) ,xf x e x? ? ? ?1( ) 0 .1xf x ex? ? ??39。( 0 ) 0 , 39。( ) 39。( ) 39。( 0 ) 0 .f f x f x f? ? ? ?單 增 ，0 ( ) ( 0 ) 0 .x f x f? ? ?即 時(shí) ,23113 1 0 ln( 1 ) .23x x x x x? ? ? ? ?例 證 明 ， 時(shí) ，2311( ) ln( 1 ) .23f x x x x x? ? ? ? ?證 明 ： 設(shè)2 139。( ) 1 , 39。( 0 ) 0 .1f x x x fx? ? ? ? ??21 ( ) 1 2 , ( 0 ) 0.( 1 )f x x fx? ? ? ? ??32 39。 ( ) 2 0, ( ) 0.( 1 )f x f xx? ? ? ? ??3 2 0ix ?例 證 明 ， 時(shí) ，11 2 1 21( ) ( ) .nnnx x x x x xn? ? ? ?21n n k n k? ? ? ?證 明 ： 成 立 ， 設(shè) 成 立 。 時(shí) ，111 2 1 1 2 11( ) ( ) .1kkkx x x x x xk???? ? ? ??即 證11 2 1 1 2 11 ()1kkkx x x x x xk?????? ? ? ? ??????11 2 1 2 1 1111 ( ) ( )1kk k kkx x x x x x f xxk??????? ? ? ? ? ??????1 1 2m in ( )kkf x x x x? ?只 需 證 即 可 。11 1 2 1211139。( ) ( )1kkkkf x x x xkx??????? ? ? ? ??????1 2 1111 ()1kkkx x xxk ????? ? ? ??????1 2 12111 ()1kkkx x xkx ????? ? ? ? ??????1 2 1 11 ( ) 0.1 kkx x x xk ????? ? ? ? ??????1 1 2 11 ( ) .1kkx x x xk??? ? ? ??1 1 21 ( ) .kkx x x xk? ? ? ? ?即1() kfx ?易 得 ， 此 時(shí) 達(dá) 最 小 值 ， 故1 1 21min ( ) ( ( ) )kkf x f x x xk? ? ? ? ?121 ( ) .kkx x xk??? ? ? ?????1 1 1 1112233 1 , 1 , .ln( 1 )n n n na a a aanann?? ?? ? ? ??例 證 明 ，( ) ,11L1xf x ann??證 明 ： 令在 [ , ] 上 使 用 定 理 再 放 縮 即 可 。234 0 sin .2x x x??? ? ?例 證 明 ： 當(dāng) 時(shí) ，2( ) sin ( 0 ) 0, ( ) 0.2F x x x F F??? ? ? ? ?證 明 ： 令 ，2( ) c osF x x?? ??( ) sin 0F x x?? ? ? ?( ) .Fx? 為 上 凸 函 數(shù)? ?( ) m in ( 0 ) , ( ) 02F x F F ?? ? ?2sin ( 0 )2x x x??? ? ? ?( ) [ 0, 2] ( ) 1 , ( ) 1.[ 0, 2] , 39。( ) 2.f x f x f xx f x??? ? ?例 35 若 在 上 二 階 可 導(dǎo) , 且證 明 ： 有[ 0 , 2 ] ( ) 0 , 2x f t x t? ? ?證 明 ： ， 將 在 點(diǎn) 展 開(kāi) ， 用 代 入 得211( )( 0 ) ( ) 39。( ) ( ) ( ) , 0 .2ff f x f x x x x? ?? ? ? ? ? ? ?222( )( 2 ) ( ) 39。( ) ( 2 ) ( 2 ) , 0 .2ff f x f x x x x? ?? ? ? ? ? ? ?2221( ) ( )( 2 ) ( 0 ) 2 39。( ) ( 2 ) .22fff f f x x x??? ? ? ? ?? ?2221139。( ) 2 ( 2 ) 2 ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( )4f x f f f x f x??? ? ? ? ?? ?22139。( ) 2 2 ( 2 )4f x x x? ? ? ? ? ?? ?211 2 ( 1 ) 2 2 .4 x? ? ? ? ?[ 0 , 1 ]( ) [ 0, 1 ] ( 0 ) ( 1 ) 0,m ax ( ) 2. ( 0, 1 ) , 39。39。 ( ) 16 .xf x f ff x f?????? ? ? ? ?例 36 若 在 上 二 階 可 導(dǎo) , 且證 明 ： 有( 0 , 1 ) ( ) 2 , 39。( ) 0 .a f a f a? ? ? ?證 明 ： ， 使2( )( ) ( ) 39。( ) ( ) ( )2ff x f a f a x a x a?? ? ? ? ?2( )2 ( ) , .2f x a a x? ?? ? ? 介 于 與 之 間22 ( ) 4 ( ) .()fxfxa????21 2 ( 0 ) 40, ( 0, ) , ( ) 16.2 ( 0 )fa x a fa???? ? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 取 使21 2 ( 1 ) 41 , ( , 1 ) , ( ) 16.2 ( 1 )fa x a fa???? ? ? ? ? ? ??當(dāng) 時(shí) , 取 使3 7 6 ( )( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) ,y f x??例 求 一 個(gè) 次 多 項(xiàng) 式 ， 使 其 過(guò) 原 點(diǎn) 且 有 拐 點(diǎn)和 并 且 在 原 點(diǎn) 和 拐 點(diǎn) 處 有 水 平 切 線 。39。( 1 ) 39。( 1 ) 39。( 0 ) 0,f f f? ? ? ?解 ： 由239。( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) .f x x x x x Bx C? ? ? ? ?設(shè)( 1 ) 0 , ( 1 ) 0 0 , 1 .f f B C? ? ? ? ? ?則 解 得6 4 21 1 1( ) .6 2 2f x x x x? ? ? ?6 4 2( ) 3 3 .f x x x x? ? ?取clear syms x B C a=::。 k=(x^3x)*(x^2+B*x+C)。 %f39。(x) yu1=diff(k)。 %f39。39。(x) f1=subs(yu1,x,1)。 f2=subs(yu1,x,1)。 [b,c]=solve(39。2+2*B+2*C=039。,39。22*B+2*C=039。,39。B,C39。) fp=subs(subs(k,B,b),C,c) %f39。(x) f=int(fp)*6 %f(x) y1=subs(f,x,a)。 y2=subs(fp,x,a)。 y3=subs(diff(fp),x,a)。 plot(a,y1,a,y2,39。r39。,a,y3,39。g39。,a,0*a) 1 0 1 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 39。( )y f x? ( )y f x?()y f x?223 8 ( 1 ) ln ( 1 ) , ( 0 1 ) .x x x x? ? ? ? ?例 證 明 ：22 1ln ( 1 ) 111xxxxx? ? ? ? ???證 明 ： 原 式 等 價(jià) 于21( ) 1 ln ( 1 ) , ( 0 ) 0 .1F x x x Fx? ? ? ? ? ??設(shè) 則21 2 ln( 1 )39。( ) 1 , 39。( 0 ) 0 .1( 1 )xF x Fxx?? ? ? ??? 則1( ) ( 1 ) 39。( ) 1 2 ln( 1 ) ,1G x x F x x xx? ? ? ? ? ? ??21239。( ) 1 , 39。( 0 ) 0 .1( 1 )G x Gxx? ? ? ??? 則2322 ( ) 0 .( 1 ) ( 1 )Gx xx? ? ???( ) 0 .Fx ?故
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