【正文】 ?有 下 界 0 ， 故 非 負 。 ( ) .x f x A? ? ? ?設0 , 0 , 39。( ) ( ) , ( , )f x f x f x x x x??? ? ? ?11( ) ( ) ( ) .2Af x f x x x? ? ?則1 ,xx ? ? ?固 定 時 ， 有l(wèi) i m ( ) l i m 39。 故5 ( ) [ , ) , l i m 39。 ( ) 0 ,x f x A G? ? ? ??證 明 ： 由 ， 取 充 分 大 的39。( ) ( ) , ( , ) .f x f x f x x x x??? ? ? ?11( ) ( ) ( )2Af x f x x x? ? ?故11, , .x x x x? ? ? ? ? ? ?固 定 當 有l(wèi) i m ( ) .x fx? ? ? ? ? ?故6 ( ) [ , ] ( , ) , ( 0 )f x C a b D a b a??例 若, ( , ) , 39。 ( ) .2aba b f f? ? ? ???? ? ?證 明 ， 使2( ) ( )f x g x x?證 明 ： 對 與 使 用 柯 西 定 理( ) ( ) 39。 ( )f b f a f abg b g a g? ??? ???22( ) ( ) 39。( ) ( ) , ( , ) .L f b f a f b a a b??? ? ? ?由 定 理2239。 ( ) .2f b a fba???? ??即 得 證7 , 0 , ( ) ( ) ( ) ,x y f x y f x f y? ? ? ?例 設 有39。( ) .af a x f x x? ? ?且 證 明 ， 時 ,( 1 ) 0 .f ?證 明 ： 顯 然 ，0( ) ( )39。( 1 ) .faxx??8 ( ) [ 0 , ] , ( 0 ) 0 , 39。( ) , ( 0 , )0f a f a f faaa ???? ? ??22( ) ( ) ( ) ( ) 39。[ , ] Lb a b?在 上 使 用 定 理 ，2 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 0 ) 0 .x f a x f a f x??? ? ? ? ?證 明 ： 設 則39。( )f x D c f f x??原 題 設 單 減 ，0 ( ) ( ) ( ) .a b a b c f a b f a f b? ? ? ? ? ? ? ?證 明 ： 時 , 有129 , 0 ,xx ?例 證 明 ， 若 則211 2 1 2 1 2( 1 ) ( ) , , .xxx e x e e x x x x???? ? ? ? 介 于 之 間21121212( 1 ) , 0,xxx e x ee x xxx ??? ? ? ??證 明 ： ， 由212121,11xxeexxxx???左 端22( 1 ).1e???????右 端121[ , ] ( ) ( )xex x f x g xxx??在 區(qū) 間 上 對 與使 用 Cauch 定 理 即 得 。( ) 39。( ) 39。( ) 39。( ) 39。( ) ( ) ( )2 2 2 2a b a b f a bf f a f a a a?? ? ?? ? ? ? ?21( )( ) ( )22f a bf a a? ?? ? ?22( )( ) ( ) 39。( 0 , 1 )11 5 ( ) [ 0 , 1 ] ma x ( ) ,4xf x f x? ?例 若 在 上 二 階 可 導 , 且 ( ) 1 , ( 0 ) ( 1 ) 1 .f x f f? ? ?證 明 ，( ) ( 0 , 1 )x a f x?證 明 ： 設 為 在 內 的 最 大 值 點 ，139。( ) ( 0 ) ( 0 )2ff f a f a a a?? ? ? ? ?211( )1 , ( 0 , ) .42f aa? ?? ? ?22( )( 1 ) ( ) 39。 ( 0 ) . ( , ) ,2af a a f a a?? ? ? ? ? ? ?證 明 ，39。 ( )( ) ( 0 ) 39。( )( 0 )( ) ( 0 ) 39。( )( 0 )( ) ( 0 ) 39。 ( 0 ) [ 39。 ( ) ]6af a f a f a f f??? ? ? ? ?1239。 ( ) 6 .ff????即 17 ( ) l i m ( ) ,xf x R f x A?? ?例 若 在 上 三 階 連 續(xù) 可 導 , 且l i m 39。 ( ) l i m ( ) x xf x f x f x? ? ? ? ? ?? ? ?證 明 ，( 1 ) ( ) 39。( )( ) ( 1 ) ( 1 )2 3 !ffx x x x x?? ? ? ? ? ?1139。( ) , ( , 1 ) .26ffxf x f x x x? ?? ? ? ? ? ?( 1 ) ( ) 39。( )( ) ( 1 ) ( 1 )2 3 !ffx x x x x?? ? ? ? ? ?2239。( ) , ( 1 , ) .26ffxf x f x x x? ?? ? ? ? ? ?兩 式 相 減 得 ：1239。( )( 1 ) ( 1 )39。 ( ) fx?? ?故l i m ( ) fx?? ?由 第 一 式 兩 邊 同 時 取 極 限 得1 8 ( ) ( , ) ( ) 0 ,f x a b f x ?例 設 在 上 二 階 可 導 , 且11( , ) ( 1 , 2, , ) . ( ) ( ) .nni i i i iiix a b i n f p x p f x??? ? ???證 明 ，10 ( 1 , 2, , ) , 1.niiip i n p?? ? ??其 中1, ( )niiip x a f x x a????證 明 ： 記 在 點 展 開 ，2 ( )( ) ( ) 39。 由 ， ， 故( ) ( ) 39。( ) ( ) .i i i i ip f x p f a p f a x a? ? ?所 得 等 式 相 加 得1 1 1 1( ) ( ) 39。( )niiif a f a p x a???? ? ??????( ).fa?( ) ln , ( ) 0 , ( 0 )f x x f x x? ? ?特 別 地 ， 令111 , ( 1 , 2, , ) ( ) ( ) .nni i i i iiip i n f p x p f xn??? ? ? ???，1111( ) ( )nniiiif x f xnn??????12111 1 1ln ln ln ( )nni i niix x x x xn n n????? ? ????? ??1 2 1 21 () nnnx x x x x xn? ? ? ? ?130()19 ( ) l i m ( 1 ) .xxfxf x x ex? ? ? ?例 設 二 階 連 續(xù) 可 導 , 且10()( 0 ) , 39。( 0 ) ( )2ff x f f x x o x? ? ? ?22( 0 )39。( 0 ) ( ) .2f x ff x o xx? ? ?0x ?取 極 限 得0 0 0( ) ( 0 )39。( )lim 39。( 0 ) ( )2ff x f f x x o x? ? ? ? ?222 ( )x o x??1100()l i m ( 1 ) l i m ( 1 2 ( ) )xxxxfx x o xx??? ? ? ?1 2 ( )2 ( )0l i m ( 1 2 ( ) )x o xx o x xxx o x???? ? ?2e?四、 導數(shù)應用 1. 研究函數(shù)的性態(tài) : 增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點 , 漸近線 , 曲率 2. 解決最值問題 ? 目標函數(shù)的建立與簡化 ? 最值的判別問題 3. 其他應用 : 求不定式極限 。 相關變化率 。 研究方程實根等 . 4. 補充定理 (見下頁 ) ( ) ( )( 1 ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )kkf a g a k n? ? ?且 ，( ) ( ) ( ) ,x f x g x? ??證 明 ： 令() ( ) 0 ( 0 , 1 , , 1 )k a k n? ? ? ? ；() ( ) 0 ( ) .n x x a? ??( ) ( ) .x a f x g x??故 時 ，() ()( ) ( ) 0 ( )!nnx x a a xn????? ? ? ? ?1l n ( ) l n ( 1 )f x xx??證 明 ： [ l n ( 1 ) l n ]x x x? ? ?( ) l n ,