【正文】 ans i nln11 24 ?????????????? xxxxxxxxx ? 3. 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導 法則 設函數(shù) y = f(x)由參數(shù)方程 確定 . ?????)()(tytx??x =?(t)有連續(xù)的嚴格單調的反函數(shù) t =??1(x), 且 ? ?(t)?0, 則 y=? (t)= ? (??1(x)). 故 xttyxydddddd ??因此 y = f(x)的導函數(shù)由參數(shù)方程 ??????????)()()(txtyytx ?確定 . x =?(t), y =? (t) 在區(qū)間 [?, ?]上可導 , txtydddd? .)()(txty???? 例 4 ???????52ar c tan2 tetyytx,1 1dd 2ttx ??,0dd2dd2 2 ???? tetytyyty .)1(2dd 2tyeyty t???.)1(2)1)((dddddddddd 22tyteytxtyxttyxy t???????設函數(shù) y = f(x)由 確定 , 解 : 由隱函數(shù)求導法則得 即 .ddxy求 因而 ? ????????)()()(tftftytfx,dd22xy),(dd tftx ??? )(dd tftty ??? .dddddd ttxtyxy ???????????txytfxdd)(例 5 求由 確定的函數(shù)的二階導數(shù) 其中 f ?(t)存在 , 而且 f ?(t)?0. 解 : 即 y?(x)由參數(shù)方程 確定 . .)(1ddd)(ddd dd22tftxtxy xy????于是 ? 167。 v)= du177。 (3) 極大值不一定大于極小值 . 二 . 費馬定理 設函數(shù) f(x)在 x0的某個鄰域 N(x0)內有定義 , 在 x0 處 取得極值 , 且在 x0處可導 , 則 f ?(x0) = 0. .0)()(lim)(0000???????? xxxfxfxfxx).()()( 000 xfxfxf ????? ??設 f(x)在 x0處取得極大值 , 則 ?? 0, 使得 若 f 在 x0處可導 , 則 由于 因此 f ?(x0) = 0. ?x?N(x0,? )恒有 f(x) ? f(x0). .0)()(lim)(0000???????? xxxfxfxfxxFermat [法 ] (1601~1665) ? 且在點 (x0, f(x0))處具有切線 , 則切線必為水平線 . 如果曲線 y = f(x)在 x0處取得極值 , 幾何意義 三 . 駐點 設函數(shù) f(x)在 x0的某個鄰域 N(x0)內有定義 , 且 f ?(x0) = 0, 則稱 x0為 f 的 駐點 . ? 四 . 羅爾 (Rolle[法 ]1652~1719) 中值定理 設函數(shù) f(x)滿足下列條件 : (1) f(x)在 [a,b]上連續(xù) , (2) f (x)在 (a, b)內可導 , (3) f(a) = f (b). 則至少存在一點 ?? (a, b),使得 f ?(? ) = 0. 幾何意義 如果曲線 y = f(x)在 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內的 每一點處都具有切線 , 且端點處的高度相等 , 則曲線上至少有一點處的切線為水平線 . ? 代數(shù)意義 如果函數(shù) y = f(x)在 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內的可導 , 且 f(a)=f(b),則方程 f’(x)=0在 (a, b)內至少有一實根 . 推論 設函數(shù) f(x)是定義在區(qū)間 I上的 可微函數(shù) . 則 f(x)的兩個零點之間至少有一個駐點 . 注 : 羅爾中值定理的三個條件中有一個不滿足時 , 結論都有可能不成立 . 如 : ? ??????],2,0(,02)(xxxxfg(x)=|x| (x? [?1, 1]), h(x) = x (x? [0, 2]). 條件是充分的 !請舉例說明條件不是必要的 . 設 y = f(x)在 [0, 1]上可導 , 且 f(1) = 0. 證明 : 存在 ? ? (0, 1), 使得 例 1 f(?)+? f ?(? ) = 0. 證明 : 令 F(x) = xf(x). 則 F(x)在 [0, 1]上滿足羅爾中值定理的條件 , ? 說明條件為什么滿足 ! 故存在 ? ? (0, 1), 使得 F ?(? ) = 0, 即 f(?)+? f ?(? ) = 0. 注 : 上述函數(shù) F(x)常被稱為 輔助函數(shù) . 構造適當?shù)妮o助函數(shù)是解決類似問題的 常用方法 . 設函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內 可導 . 假如 f(a) f(b). ? )()()()( axab afbfafy ?????構造輔助函數(shù) )()()()()()( axabafbfafxfxF ??????易見 F(x)在區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內 可導 , 且 F(a)=F(b)=0. 由羅爾中值定理可知 , ?? ? (a, b) 使得 F ?(? )=0. 即 .0)()()( ????? ab afbff ?因此 f(b)?f(a) = f ?(? )(b?a). 假如 f(a) f(b)?請同學們課后思考 !應當有同樣的結論 . 五 . 拉格朗日中值定理 設函數(shù) f(x)滿足下列條件 : (1) f(x在 [a,b]上連續(xù) , (2) f(x)在 (a, b)內可導 . 則至少存在一點 ?? (a, b),使得 f(b)?f(a) = f ?(? )(b?a). 幾何意義 如果曲線 y = f(x)在 [a, b]上連續(xù) , 在 (a, b)內的每一點處都具有切線 , 則曲線上 至少有一點處的切線平行于 兩端點的連線 . 注 : 還可以構造 F(x) = [f(b)?f(a)]x ? f(x)(b?a). Lagrange[法 ] (1736~1813) ? 推論 1 設函數(shù) f(x)在 (a, b)內滿足 f ?(x)≡0 ? f(x)在 (a, b)內為常值函數(shù) . 推論 2 設 f(x), g(x)在 (a, b)內 滿足 f ?(x) = g?(x), 則 ?常數(shù) C, f(x) = g(x)+C, ?x?(a,b). 注 : 在拉格朗日中值定理的條件下 , 我們只知道 存在一點 ?? (a, b), 使得 f(b)?f(a) = f ?(? )(b?a), 一般并不知道 ?的值究竟是多少 . 有時我們 可以進一步去求 ?的值 , 有時我們根本不關 心 ?的具體值 . ? 于是 .11)1l n (????xx而 ,11111 ???? ?x故存在 ? ? (0, x), 使得 f(x)?f(0) = f ?(?)x. 例 2利用拉格朗日公式解決下列問題 : (1) 設 x 0, 證明 : x/(1+x) ln(1+x) x. 證明 : 令 f(t)=ln(1+t), 特別地 ,取 x =1/n, 則有 1/(1+n) ln(1+1/n) 1/n. 由此可得 x/(1+x) ln(1+x) x. 則 f(t)? C[0, x], 且 f(t)在 (0, x)內可導 . ? 證明 : 令 f(t)=arctan t, 則與上例類似 , .11ar c tan2???xx而 ,1111122 ???? ?x證明 : ).()(2)()(lim 20afh afhafhafh????????存在 ? ? (0, x), 使得 f(x)?f(0) = f ?(?)x, 即 于是 x/(1+x2) arctan x x. (2) 設 x 0, 證明 : x/(1+x2) arctan x x. (3) 設函數(shù) f 在點 a處具有連續(xù)二階導數(shù) . ? 使得 f ?(x)在 N(a, 2|h|)內有定義 . 則 = [f(a+h)?f(a)]?[f(a)?f(a?h)] = g(a+h)?g(a) 其中 ?1在 a與 a+h之間 , ?在 ?1與 ?1?h之間 , 因此 , ).(l i m)(2)()(l i m020?fh afhafhafhh?????????注意到當 h→ 0時 , 有 ? → a, 而 f ?(x)在點 a處連續(xù) , 所以 ).()(2)()(lim 20afh afhafhafh????????證明 : 令 g(x) = f(x)?f(x?h), 取絕對值充分小的 h, f(a+h)+f(a?h)?2f(a) = g?(?1)h =[ f ?(?1)?f ?(?1?h)]h = f ?(? )h2, ? ? 例 3 設 a 0, 函數(shù) f(x)? C[a, b], 且在 (a, b)內可導 . 證明 : 存在 ?? (a, b), 使得 f(b)?f(a) = .ln)(abf ?? ?167。 5 導數(shù)的應用 一 . 函數(shù)的單調性 由拉格朗日中值定理得 , f(x2)?f(x1) = f ?(?)(x2?x1) , ?? (x1, x2). f(x)在 (a,b)內可導 , 任取 x1x2? (a,b), 若 ?x? (a, b), f ?(x) ? 0 ( f ?(x) ? 0), 則 f(x)在 (a, b)內單調增 (減 ). 反之 ,若 f(x)在 (a, b)內單調增 (減 ),則由導數(shù) 的定義及函數(shù)極限的局部保號性可得 ?x? (a, b), f ?(x) ? 0 ( f ?(x) ? 0). ? 定理 1 設函數(shù) f(x)在 (a, b)內可導 , 則有 (1) f(x)在 (a, b)內單調增 (減 )? ?x? (a, b), f ?(x) ? 0 ( f ?(x) ? 0). (2) 若 ? x? (a, b), f ?(x)0 ( f ?(x)0), 則 f(x)在 (a, b)內嚴格單調增 (減 ). 注 ① 定理中的區(qū)間 (a, b)換成其他各種類型的 區(qū)間 (包括無窮區(qū)間 )結論也成立 . 注 ② 應用該定理求函數(shù) f(x)的單調區(qū)間時 , 應先求出 f(x)的駐點及導數(shù)不存在的點 , 將 f(x)的定義域分成若干個子區(qū)間 , 然后再根據(jù) f ?(x)在這些子區(qū)間上的符號 , 判斷 f(x)在各子區(qū)間上的單調性 . ? 2. 應用舉例 ????????0100xxxx(1) 討論 f(x) = 的單調性 . .11)( 2xxf ???解 : D(f )=R, 并且 x≠0時 , D(f ) (?∞ , ?1) ?1 (?1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞ ) f 39。 (2) 若 x? (x0?δ, x0)時 , f ?(x)0, 而 x? (x0, x0+δ)時 , f ?(x)0, 則 f(x)在點 x0處取得極小值 。情況是這這樣嗎？請看下例： 問題的提出 ? O xy1x 2x在 xoy面上作 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形 y=f(x)在區(qū)間 [x1,x2]上的圖形可以是黃線圖形，也可以是藍線圖形 （ 1） 觀察 由此可見 ，僅僅知道函數(shù)的單調性，仍然不能準確的作出函數(shù)的圖形。 ? 設曲線 y=f(x)在區(qū)間 [a,b]上向上凹，在區(qū)間 [a,b]上 任取兩點 x1和