復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 , y) 的可導(dǎo)性，探求 函數(shù) w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的 一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。 定理 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。)()()(l i m0000000處連續(xù)上點(diǎn)在曲線(xiàn)，則稱(chēng)且、若內(nèi)連續(xù)在內(nèi)處處連續(xù)，則稱(chēng)若在區(qū)域處連續(xù)在，則稱(chēng)若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz?????例 4 證明 f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz?????????????),(),( yxvvyxuu ??故),(),()( yxvvyxuuivuzfw ??????( ) { ( ) , }G f E w w f z z E= = = ?該函數(shù)的值域?yàn)椋? x y iyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()( 2222????????????則令例 1 xyvyxuzw 2222 ??????例 2 ?????????????????????? 2222 1111)(yxiyyxxzf若已知.)( 的函數(shù)表示成將 zzfzzzf 1)( ??)(21),(21, zziyzzxiyxz ?????? 則設(shè)實(shí)部等于實(shí)部虛部等于虛部 o x y (z) E o u v (w) G w=f(z) 在幾何上， w=f(z)可以看作： 的原象。 初等函數(shù) 167。第二章 解析函數(shù) 167。 解析的充要條件 167。論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無(wú)特別聲明，所討定義 E是復(fù)平面上的點(diǎn)集 , 若對(duì)任何 z=x+iy?E, 都存在一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) w=u+iv和 z對(duì)應(yīng) , 則稱(chēng)在 E上確定了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，用 w=f (z)表示 . E 稱(chēng)為該函數(shù)的定義域 . ),(),( )()(),()。)(。在原點(diǎn)沒(méi)有定義， ar g)()1( zzf ??證明 x y (z) o z z )0,( xP?定理 設(shè) ( ) ( , ) ( , ) ,f z u x y iv x y??則 f (z) 在 0 0 0z x iy??處連續(xù)的充分必要條件是 ( , ),u x y( , )v x y 都在 00( , )xy點(diǎn)連續(xù) . 定理 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為 0) 仍為連續(xù)函數(shù) 。 復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件 如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。由解析函數(shù)的定義 ，我們可以得到定理 . 定理 函數(shù) f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在區(qū)域 D內(nèi)解 析的充要條件是 （ 1） u(x, y) 和 v(x, y)在 D內(nèi) 可微 （ 2） u(x, y) 和 v(x, y)在 D內(nèi) 滿(mǎn)足柯西 黎曼方程 yuxvyvxu???????????解析函數(shù)的判定方法 : (1) 如果能夠用求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則驗(yàn)證復(fù) 變函數(shù) f (z)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)處處存在 , 則可直 接斷定 f (z) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 . (2) 如果復(fù)變函數(shù) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函 數(shù) u(x,y)和 v(x,y)在區(qū)域 D內(nèi)各個(gè) 一階偏導(dǎo)數(shù)連 續(xù) (因而 u(x,y)和 v(x,y)在區(qū)域 D內(nèi)可微 ), 并且滿(mǎn) 足 柯西 黎曼方程 , 則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù) f (z)在區(qū)域 D解析 .（ P28 推論 ） 判定復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性與解析性的步驟： I) 判別 u(x, y)， v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性； II) 驗(yàn)證 CR方程； III）根據(jù)推論 。故 )s i n( c o s)( c o ss i ns i nc o syiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx???????????????????????????)(s i nc os)(39。 內(nèi) 容 簡(jiǎn) 介 ? 1. 指數(shù)函數(shù) ? 2. 對(duì)數(shù)函數(shù) ? 3. 冪函數(shù) ? 4. 三角函數(shù) 一 . 指數(shù)函數(shù) 它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類(lèi)似的性質(zhì) ： 0e x p)1( ?? zz )0e x p,( ?? xez事實(shí)上x(chóng)ezzfxz ?? e x p)(,)2( 時(shí)為實(shí)數(shù)當(dāng) )0( ?y???????????????,2,1,02)e xpA r g(e xpkkyzez x)1()s i n(c ose xp)(:e xpyiyezzfzziyxzx ????? 如下的指數(shù)函數(shù)定義復(fù)變數(shù)對(duì)定義 .e x p)( e x pe x p)()3( zzzzf ??? 且在復(fù)平面上處處解析，右邊左邊設(shè)事實(shí)上??????????????????????)e x p()]s i n()[ c o s ()]s i nc o sc o s( s i ns i ns i nc o s[ c o s )s i n( c o s)s i n( c o s e x pe x p)2,1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)e x p (e x pe x p:)4( 2121 zzzz ??加法定理.e x p ze z 代替為了方便，我們用以后:)( 的周期性由加法定理可推得 zezf ?ZkikTzfTzf ???? ,2),()( ?.2 )()2s i n2( c o s)2(, 22為任意整數(shù)事實(shí)上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz???? ??????????? ?? 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的。ln 續(xù)除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)均連其中 z.a r g 連續(xù)在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不而 z.ln, 在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外 z?0)39。( ?且負(fù)實(shí)軸外均是解析的，的每個(gè)分支除了原點(diǎn)和.,2 zie z 求設(shè) ?例 4 ( 2 ) l n 2 ( 2 ) l n 2 2 0 , 1 ,2z L n i i iA rg ii k i k??? ? ?? ? ? ? ?三 . 乘冪 與冪函數(shù) ba bz? 乘冪 ab ,0, ?aba 且為復(fù)數(shù)設(shè)定義 .b L n ab ea ?定義乘冪.,0, 為實(shí)數(shù)實(shí)變數(shù)情形 ba ?? — 多值 — 一般為多值 ., 它是單值函數(shù)為整數(shù)時(shí)b?為整數(shù)①當(dāng) b)0,( ?? qqpqpb 且為互質(zhì)的整數(shù)②當(dāng)具有③一般而論 ba, .無(wú)窮多支 (2)當(dāng) b=1/n(n正整數(shù) )時(shí) ， 乘冪 ab與 a 的 n次根意義一致。( ,1 單值分支且解析除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處????bbbbzzzwbzw ?,③一般而論 除去 b為正整數(shù)外，為多值函數(shù)， 當(dāng) b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無(wú)窮多值。(21)39。(
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