復變函數(shù)與積分變換孤立奇點-預覽頁
【正文】 ?在 內(nèi) ：z = 0為一級極點。1( ) ,fzz??再 如 為 可 去 奇 點 ,復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換111R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ] ( ) d ( ) d 0 .2 π 2 πnkk CCf z f z z f z z f z zii??? ? ? ? ?? ??定理二 如果 f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點 ,那么f(z)在所有各奇點 (包括 ?點 )的留數(shù)總和必等于零 . 證：除 ?點外 ,設 f(z)的有限個奇點為 zk(k=1,2,...,n).且 C為一條繞原點的并將 zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線 , 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義 , 有 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換規(guī)則 4 211R e s[ ( ) , ] R e s , 0f z fzz????? ? ????????? 事實上 , 在無窮遠點的留數(shù)定義中 , 取正向簡單閉曲線 C為半徑足夠大的正向圓周 : | z |= ? . 令1z?? , 并設 z = ? ei ?, ? = rei ?, 那么1, ddr? ? ? ? ?? ? ? ? ? , 于是有 1201R e s[ ( ) , ] ( )21()2Ciif z f z dzif e ie di????? ? ????????? 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換202201121 1 1()2 ( )iiiiiifdi r e r ef d r ei r e r e???????????????????????????? 21||1 1 1 1| | .2fdi????? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??為 正 向 211R e s , 0fzz?????????????? ( 由于 f ( z ) 在 ? | z | + ? 內(nèi)解析 , 從而 1f???????在10 | |????內(nèi)解析 . ) 所以規(guī)則 4 成立 . 定理二與規(guī)則 IV為我們提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又 一種方法 , 在很多情況下 , 它比利用上一段中的方法更簡便 . 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換例 6 ? ? ???? 4 223415)1()2(zdzzzz計算izzzizzfi???2]0)1()21(1R e s [2]01)1(R e s [222342??????，))(3,2,1,0(2)(64 424 三階，二階個極點：內(nèi)有 ????keizki ??解： 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換例 : 計算積分41Czdzz ?? , C 為正向圓周 :| z | =2 . [ 解 ] 41zz ?在 | z | =2 的外部除 ? 外無奇點 , 因此 44341221111)1(1zzzzzzzzfz ??????????? 于是 ? ?4 2 411d2 π Re s , 2 π Re s , 0 2 π Re s , 0 011Czzz i f z i f iz z z z??? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ???? ? ? ? ????4 , 2 .1Cz d z C zz ???例 ： 計 算 積 分 為 正 向 圓 周 ：復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換]0,1)1([Re s]),(Re s [ 2zzfzf ??? 211R e s[ ( ) , 0] ( )Cf f z dzzz ?? ? 11＝ =C2iC z R?為 包 含 的 任 一 正 向 簡 單 閉 曲 線證明 ： ?????????????????????????????201123211011221)1()(21)(zCzCCzCzzfdzzfiCzCCzCzCzfC?121 1 1R e s [ ( ) , 0 ] ( )2 Cf C f z d zz z i??? ? ? ?
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