復變函數(shù)與積分變換冪級數(shù)-預(yù)覽頁
【正文】 復變函數(shù)與積分變換例如 , 求 ez 在 z = 0處的泰勒展開式 , 由于 (ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 2e 1 .2 ! !? ? ? ? ? ? ? ? ?nz zzzzn因為 ez在復平面內(nèi)處處解析 , 上式在復平面內(nèi)處處成立 , 收斂半徑為 +?. 同樣 , 可求得 sinz與 cosz在 z=0的泰勒展開式 : 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換 除直接法外 , 也可以借助這些已知函數(shù)的展開式 , 利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)和分析性質(zhì) , 以唯一性為依據(jù)得出函數(shù)的泰勒展開式 , 此方法稱為間接展開法 . 例如 sin z在 z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出 : 3 5 2 12 4 2sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !c os 1 ( 1 )2 ! 4 ! ( 2 ) !?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nnnnz z zz z znz z zzzn003 5 2 101 1 ( ) ( )sin ( e e )2 2 ! !( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nniz iznnnnniz izzi i n nz z zzzn?????????? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?????復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換[解 ] 由于函數(shù)有一奇點 z=1, 而在 |z|1內(nèi)處處解析 , 所以可在 |z|1內(nèi)展開成 z的冪級數(shù) . 因為 21 1 ( 1 ) , | | 1 .1nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ??例 1 把函數(shù) 展開成 z的冪級數(shù) . ? ?211? z將上式兩邊求導得 2 1 1211 2 3 ( 1 ) , | | 1.( 1 )nnz z nz zz??? ? ? ? ? ? ? ?? 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換例 2 求對數(shù)函數(shù)的主值 ln(1+z)在 z=0處的冪級數(shù)展開式 . [解 ] ln(1+z)在從 1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)是解析的 , 1是它的奇點 , 所以可在 |z|1展開為 z的冪級數(shù) . ?1 O x y 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換01[ l n ( 1 ) ] ( 1 ) ,1nnnzz z???? ? ? ?? ?因 為 逐 項 積 分 得0 0 01 d d ( 1 ) d ,1z z z nnz? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?2 3 1l n ( 1 ) ( 1 ) | | 1 .2 3 1nnz z zz z zn?? ? ? ? ? ? ? ? ??即復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換?解析在函數(shù) 0)( zzf的冪級數(shù)的某鄰域內(nèi)可展開為在 00)( zzzzf ??解析在區(qū)域函數(shù) Dzf )(0()f z D z z?在 內(nèi) 任 一 點 處 可 展 開 為 的 冪 級 數(shù)推論 1： 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換 注： 解析的等價條件：在區(qū)域函數(shù) Dzf )(內(nèi)可導；在區(qū)域函數(shù) Dzf )()1(條件，內(nèi)可微，且滿足在區(qū)域 RCDvu ?,)2(關(guān)；內(nèi)連續(xù)且積分與路徑無在區(qū)域函數(shù) Dzf )()3(內(nèi)可展開為冪級數(shù)在區(qū)域函數(shù) Dzf )()4(推論 2: 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點。2?R則其收斂半徑,)(61)(02 ????????nnn izCzzzf ?則 其 收 斂 半 徑復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換而如果把函數(shù)中的 x換成 z, 在復平面內(nèi) ,函數(shù) 2 4 621 1 + +1 z z zz ? ? ??它有兩個奇點 ?i, 且都在此函數(shù)展開式的收斂圓周上 , 所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等
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