復(fù)變函數(shù)與積分變換孤立奇點(diǎn)-在線瀏覽
2024-10-12 08:55本頁面
【正文】 nsform 復(fù)變函數(shù)與積分變換? ??? ????? ?? !!21 1)( 11 mzzzzf mn01zn? ? ?為 級極點(diǎn).2 1 ( 0 )zz k i e kp= ?為 的一級零點(diǎn)2 ( ) ( 0 ) .z k i f z k?? ? ?為 的一級極點(diǎn)( ) ( 0 )1nzzf z ne???例 2 求 的 極 點(diǎn) 。mzzezf 1)( ??對 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。 留數(shù) 1. 留數(shù)的定義 如果函數(shù) f(z)在 z0的鄰域 D內(nèi)解析 ,那么根據(jù)柯西積分定理 ( ) 0 .Cf z d z ??()Cf z dz? 但是 , 如果 z0為 f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn) , 則沿在z0的某個(gè)去心鄰域 0|zz0|R 內(nèi)包含 z0的任意一條正向簡單閉曲線 C的積分 未必再等于零。例如 ? ? ?????? ??? 2 11lnz dzz求積分不能應(yīng)用留數(shù)定理。 規(guī)則 3 設(shè) ? ? ? ?()f z P z Q z? , P ( z ) 及 Q ( z ) 在 z 0 都解析 , 如果 P ( z 0 ) ? 0, Q ( z 0 )=0, Q 39。 ( z 0 ) ? 0 , 所以 z 0 為 Q ( z ) 的一級零點(diǎn) , 從而 z 0 為 ? ?1 Qz 的一級極點(diǎn) . 因此 011( ) ,()zQ z z z??? 其中 ?? ( z ) 在 z 0 解析 , 且 ?? ( z 0 ) ? 0 . 故 z 0 為 f ( z ) 的一級極點(diǎn) . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換由 規(guī)則 1,000R es [ ( ), ] l i m ( ) ( )zzf z z z z f z??? , 而 Q ( z 0 )= 0 . 所以 ? ?? ?00000 00()l i m ( ) ( ) l i m( ) ( )z z z zPzPzz z f zQ z Q z Qzzz??? ? ?? ??, 即得 規(guī)則 3。 R e s [ ( ) , 1 ] .2 2 2 2||zzzzzzf z f z ?? ? ?? ? ? ? ?比用規(guī)則 1更簡單 ! 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 計(jì)算積分 41Cz dzz ??, C 為正向圓周 | z | =2. 解： 被積函數(shù) 4()1zfzz??有四個(gè)一級極點(diǎn) ? 1, ? i 都在圓周 | z |= 2 內(nèi) , 所以 ]}),(R es []),(R es []1),(R es []1),({ R es [π2d14izfizfzfzfizzzC????????. 3 2 4( ) 1 1 1 1 1, , 2 π ( ) 0 .( ) 4 4 1 4 4 4 4CP z z z dz iQ z z z z? ? ? ? ? ? ?? ??由 規(guī) 則 3 故復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 計(jì)算積分 2( 1 )zCe dzzz ??, C 為正向圓周 | z |= 2. 解 ： z =0 為被積函數(shù)的一級極點(diǎn) , z =1 為二級極點(diǎn) , 而 .1)1(lim)1(lim]0),(R es [ 2020???????? zezzezzf zzzz2211eRe s[ ( ) , 1 ] l im ( 1 )( 2 1 ) ! ( 1 )zzdf z zdz z z????? ???? ??211e ( 1 )l im l im zzd e zdz z z???? ?? ? ?????3e d2 π {R e s[ ( ) , 0] Re s[ ( ) , 1 ] } 2 π ( 1 0) 2 π .( 1 )zCz i f z f z i izz? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 ? ? ??? 1 3)1( s i nz z dze zz計(jì)算233033003s i n s i nR e s , 0 l i m( 1 ) ( 1 )s i nl i m l i m( 1 )( 1 ) 1zzzzzzz z z zeezzez???????????????? ? ? ?i?2????解： 1z ?在 內(nèi) ：z = 0為一級極點(diǎn)。 1Re s[ ( ) , ] ( ) d2 Cf z f z zi? ??? ?111Re s[ ( ) , ] ( ) d ( ) d22CCf z f z z f z z Cii??? ?? ? ? ? ? ???f (z)在圓環(huán)域 R|z|?內(nèi)解析： 理解為圓環(huán)域內(nèi)繞
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