復(fù)變函數(shù)與積分變換課后習(xí)題答案-在線瀏覽
2025-08-05 08:15本頁面
【正文】 .（2）（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn),故. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計(jì)算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計(jì)算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2) 中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點(diǎn)∴(2) 內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴19. 驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ∴,從而是調(diào)和函數(shù). ∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵ ∴不滿足CR方程,從而不是解析函數(shù).,求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因?yàn)? 所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k, 其零點(diǎn)分別為(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因?yàn)?在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時(shí)，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1. 復(fù)級數(shù)與都發(fā)散,?為什么?．反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因?yàn)樗园l(fā)散(3) 發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對收斂.(4) 因?yàn)樗约墧?shù)不絕對收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時(shí), 級數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時(shí), 級數(shù)化為也收斂所以原級數(shù)條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級數(shù)發(fā)散.:若,且和收斂,則級數(shù)絕對收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時(shí), 所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數(shù)絕對收斂.解 因?yàn)椴糠趾?，所以，不存?當(dāng)而時(shí)（即），cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．.故當(dāng)和時(shí), 收斂.=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解： 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂，時(shí)發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散?為什么?(1)每一個(gè)冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個(gè)冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答: (1) 不正確,因?yàn)閮缂墧?shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因?yàn)槭諗康膬缂墧?shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.,求的收斂半徑。當(dāng)，即，不能趨于零,.當(dāng)時(shí), ,級數(shù)收斂且.若,對當(dāng)充分大時(shí),必有不能趨于零,，并寫出收斂圓周。所以 ，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因?yàn)榧墧?shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。綜上述可知，必有，所以，證明級數(shù)對于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，在處收斂則對，絕對收斂，則在點(diǎn)處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.,(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)槠纥c(diǎn)為所以又于是，有展開式,(到項(xiàng))解：為的奇點(diǎn)，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級數(shù)為 ，并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 （1）(2) (3) (4) (5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析所以,收斂半徑為R=1，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時(shí)，與的泰勒級數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。從而不是的孤立奇點(diǎn).23. 用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級. 解：故z=0為f(z)的15級零點(diǎn)24. 判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型：⑴??； ⑵ 解: 是的孤立奇點(diǎn)因?yàn)樗允堑谋拘云纥c(diǎn).(2)因?yàn)樗允堑目扇テ纥c(diǎn).25. 下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)：⑴ ⑵ ⑶ 解: (1)所以是奇點(diǎn),是二級極點(diǎn).解: (2) 是奇點(diǎn),是一級極點(diǎn),0是二級極點(diǎn).解: (3) 是的二級零點(diǎn)而是的一級零點(diǎn), 是的一級零點(diǎn)所以是的二級極點(diǎn), 是的一級極點(diǎn).26. 判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？⑴ ⑵ ⑶ 解: (1)當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)樗? 是的本性奇點(diǎn).(3) 當(dāng)時(shí), 所以, 是的可去奇點(diǎn).27. 函數(shù)在處有一個(gè)二級極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開式： .我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個(gè)結(jié)果哪一個(gè)是正確的？為什么?解: 不對, z=1是f(z)的二級極點(diǎn),在內(nèi)的羅朗展開式為，求積分的值(1) (2)解：（1）先將展開為羅朗級數(shù)，得而 =3在內(nèi)，,故(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為而=3在內(nèi)，,故習(xí)題五1. 求下列函數(shù)的留數(shù)．(1)在z=0處．解：在0|z|
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