復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)-在線瀏覽
2024-10-23 12:51本頁面
【正文】 Qz 的一級極點 . 因此 011( ) ,()zQ z z z??? 其中 ?? ( z ) 在 z 0 解析 , 且 ?? ( z 0 ) ? 0 . 故 z 0 為 f ( z ) 的一級極點 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換由 規(guī)則 1,000R es [ ( ), ] l i m ( ) ( )zzf z z z z f z??? , 而 Q ( z 0 )= 0 . 所以 ? ?? ?00000 00()l i m ( ) ( ) l i m( ) ( )z z z zPzPzz z f zQ z Q z Qzzz??? ? ?? ??, 即得 規(guī)則 3。 R e s [ ( ) , 1 ] .2 2 2 2||zzzzzzf z f z ?? ? ?? ? ? ? ?比用規(guī)則 1更簡單 ! 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 計算積分 41Cz dzz ??, C 為正向圓周 | z | =2. 解： 被積函數(shù) 4()1zfzz??有四個一級極點 ? 1, ? i 都在圓周 | z |= 2 內(nèi) , 所以 ]}),(R es []),(R es []1),(R es []1),({ R es [π2d14izfizfzfzfizzzC????????. 3 2 4( ) 1 1 1 1 1, , 2 π ( ) 0 .( ) 4 4 1 4 4 4 4CP z z z dz iQ z z z z? ? ? ? ? ? ?? ??由 規(guī) 則 3 故復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 計算積分 2( 1 )zCe dzzz ??, C 為正向圓周 | z |= 2. 解 ： z =0 為被積函數(shù)的一級極點 , z =1 為二級極點 , 而 .1)1(lim)1(lim]0),(R es [ 2020???????? zezzezzf zzzz2211eRe s[ ( ) , 1 ] l im ( 1 )( 2 1 ) ! ( 1 )zzdf z zdz z z????? ???? ??211e ( 1 )l im l im zzd e zdz z z???? ?? ? ?????3e d2 π {R e s[ ( ) , 0] Re s[ ( ) , 1 ] } 2 π ( 1 0) 2 π .( 1 )zCz i f z f z i izz? ? ? ? ???復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 ? ? ??? 1 3)1( s i nz z dze zz計算233033003s i n s i nR e s , 0 l i m( 1 ) ( 1 )s i nl i m l i m( 1 )( 1 ) 1zzzzzzz z z zeezzez???????????????? ? ? ?i?2????解： 1z ?在 內(nèi) ：z = 0為一級極點。 1Re s[ ( ) , ] ( ) d2 Cf z f z zi? ??? ?111Re s[ ( ) , ] ( ) d ( ) d22CCf z f z z f z z Cii??? ?? ? ? ? ? ???f (z)在圓環(huán)域 R|z|?內(nèi)解析： 理解為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線。1( ) ,fzz??再 如 為 可 去 奇 點 ,復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換111R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ] ( ) d ( ) d 0 .2 π 2 πnkk CCf z f z z f z z f z zii??? ? ? ? ?? ??定理二 如果 f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點 ,那么f(z)在所有各奇點 (包括 ?點 )的留數(shù)總和必等于零 . 證：除 ?點外 ,設(shè) f(z)的有限個奇點為 zk(k=1,2,...,n).且 C為一條繞原點的并將 zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線 , 則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義 , 有 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換規(guī)則 4 211R e s[ ( ) , ] R e s , 0f z fzz????? ? ????????? 事實上 , 在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義中 , 取正向簡單閉曲線 C為半徑足夠大的正向圓周 : | z |= ? . 令1z?? , 并設(shè) z = ? ei ?, ? = rei ?, 那么1, ddr? ? ? ? ?? ? ?
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