高校復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)重點(diǎn)-在線瀏覽
2025-06-04 12:45本頁(yè)面
【正文】 求用定義，如第二章習(xí)題1）2）利用充要條件 （函數(shù)以形式給出，如第二章習(xí)題2）3）利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。3．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線： ，其中對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線的終點(diǎn)，則 。3．閉路變形原理 ： 一個(gè)在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過(guò)程中不經(jīng)過(guò)使不解析的奇點(diǎn)。5。7．重要結(jié)論：。（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1．調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù)在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足，為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。l 兩個(gè)調(diào)和函數(shù)與構(gòu)成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是若如果滿足柯西—黎曼方程，則一定是解析函數(shù)。1）偏微分法：若已知實(shí)部，利用條件，得；對(duì)兩邊積分，得 （*）再對(duì)（*）式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得 （**） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得 虛部 。3）不定積分法：若已知實(shí)部，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故 （為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部也可用類似方法求出實(shí)部（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列（）收斂于復(fù)數(shù)的充要條件為 （同時(shí)成立）2）復(fù)數(shù)列收斂實(shí)數(shù)列同時(shí)收斂。注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問(wèn)題的討論。2．冪級(jí)數(shù)的斂散性1）冪級(jí)數(shù)的收斂定理—阿貝爾定理(Abel)：如果冪級(jí)數(shù)在處收斂，那么對(duì)滿足的一切，該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果在處發(fā)散，那么對(duì)滿足的一切，級(jí)數(shù)必發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。（如）3．冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）代數(shù)性質(zhì)：設(shè)的收斂半徑分別為與，記，則當(dāng)時(shí)，有 （線性運(yùn)算） （乘積運(yùn)算）2）復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解析且，則當(dāng)時(shí)。注：若在解析，則在的泰勒展開(kāi)式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個(gè)奇點(diǎn)之間的距離。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開(kāi)。 2．洛朗展開(kāi)定理：設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有 ，且展開(kāi)式唯一。*4．利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)在內(nèi)解析，為內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則 。說(shuō)明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開(kāi)式中的系數(shù)。 孤立奇點(diǎn)的定義 ：在點(diǎn)不解析,但在的內(nèi)解析。孤立奇點(diǎn)的類型：1）可去奇點(diǎn)：展開(kāi)式中不含的負(fù)冪項(xiàng)；2）極點(diǎn)：展開(kāi)式中含有限項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；其中在解析，且；3）本性奇點(diǎn)：展開(kāi)式中含無(wú)窮多項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)； （十四）孤立奇點(diǎn)的判別方法 1．可去奇點(diǎn)：常數(shù)；2．極點(diǎn)：3．本性奇點(diǎn)：不存在且不為。1）可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：若是的可去奇點(diǎn)，則2）級(jí)極點(diǎn)處的留數(shù)法則I 若是的級(jí)極點(diǎn)，則 特別地，若是的一級(jí)極點(diǎn)，則 注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級(jí)數(shù)比低，上述規(guī)則仍然有效。積分變換復(fù)習(xí)提綱一、傅里葉變換的概念ll二、幾個(gè)常用函數(shù)的傅里葉變換llll三、傅里葉變換的性質(zhì)l 位移性（時(shí)域）：l 位移性（頻域）： l 位移性推論：l 位移性推論：l 微分性（時(shí)域）： （）， l 微分性（頻域）： l 相似性： 四、拉普拉斯變換的概念l五、幾個(gè)常用函數(shù)的拉普拉斯變換l ； l 是自然數(shù)；（）l ；llll 設(shè)，則。 4．求拉氏變換（k為實(shí)數(shù)）5. 求方程滿足條件的解.，證明不等式 (a為非零常數(shù)) 證明：?模擬試卷一答案1. 2. 0 4． 5. 1. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 1. 2．函數(shù)在z=a處極點(diǎn)為m+n級(jí)3．4． 5. .模擬試卷二1. C為正向，則= 2. 為解析函數(shù)，則l, m, n分別為 .3. 4.
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