復(fù)變函數(shù)與積分變換第二三章-在線瀏覽
2025-03-09 03:38本頁(yè)面
【正文】 yixiyyxxzzfzzfzz???????????????????)2()(2l i m)()(l i m00?解 .2)( 處處不可導(dǎo)故函數(shù) yixzf ?? 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。 l i ml i m)(證：必要性：對(duì)于z x y? ? ? ? = 0， =0當(dāng)沿 x軸趨于 0，即 時(shí) 39。df du idv?? u u v vd x d y i d x d yx y x y??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???( ) ( )u v v ud x i d y i d x d yx y x yuvd x id y i d x id yxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? uvd Z i d Zxx?????? u v v uiix x y y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?dfdZ??充分性： xvyuyvxuvu??????????? 、 可微且滿(mǎn)足、設(shè)xyvyxuxy iyxZf22)(:2222?????? 例可導(dǎo)。f ( ) 2 2uvz i x i yxx??? ? ? ???且2 2 2 22 2 2 2 ( ) ( )( ) , 022a f Z Zf Z Z x y u x y vu x u yxy x y x y?? ? ? ? ? ??????? ??例 即 、 不可導(dǎo)。因此在 )(0 ZfZu ?00vv Zxy??? ? ???而 ， 不可導(dǎo) 39。139。39。39。39。 )()(??????? ?? ZfZf n 解析函數(shù) 解析函數(shù)的概念 。在內(nèi)任一點(diǎn)解析，則稱(chēng)在 上解析。： 例 2)( ZZf ?都不解析因此在全平面上任一點(diǎn)處不可導(dǎo)。 ? ?z z ze e e? ?在 全 平 面 解 析 ， 且?三角函數(shù)、雙曲函數(shù)在其定義域內(nèi)解析。黎曼方程?！ ∫虼司晌?。區(qū)域上解析，在 001)(2 ??? ZZZZf都是奇點(diǎn)。內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的為： 定義 Dyxh ),(5..2內(nèi)的調(diào)和函數(shù)?！ ±骸?,(0)()(),()(,2),(2222yxhs h x S n ys h x S i n yS i n ys h xS i n ys h xyhxyxhs h xs h xees h xs h x S i n yyxhxx????????????????????? 調(diào)和函數(shù) 定理 10： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域 Dyxivyxuzf ),(),()( ??內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域與 Dvu?證明： ?內(nèi)解析在 Dzf )(,x y x yu v v u? ? ?且 u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) xyyyxyxx vuvu ???? , x y yuu? ? ?同樣可得 x y yvv??注： 逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域 D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) u, v, ivuzf ??)(不一定是解析函數(shù) . 定義 若 u與 v是區(qū)域 D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿(mǎn)足 CR程， 則稱(chēng) v為 u的 共軛調(diào)和函數(shù) . 定理 11： ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y??函數(shù) 在區(qū)域 D內(nèi)解析 ?v為 u的共軛調(diào)和函數(shù) . 解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù) 例如： ? ? 2 2 2 2f z z x y i x y? ? ? ?是解析函數(shù)， ? ? ? ?222f z x y i x y? ? ?不是解析函數(shù)。 dyyvdxxvdvvyxu??????? 方法①：求例： ,22dyxudxy u ???????x d yy d xdv 22 ??? ?xyd 2?Cxyyxv ??? 2),( CxyvCyCyCyCxxxxuyvyCyxyxvyyuxv????????????????????????2)(0)()(222)(2),(239。 即有： 而 方法②： ??????????????????),()0,()0,()0,0(22 )22(22),(yxxxLx d yy d xx d yy d xvx d yy d xdyxudxyudvyx 分到方法③： 沿一路徑積 (x,y) D 0 )0,0(),(222202),(0000000vyxvvCxyvxyvxyxyxvyxvyx????????????這里 CZCx y iyxZf ?????? 222 2)(Cc h x C o s yyxvc h x C o s ydc h x S i n y d yC o s y d xxshdvc h x S i n yxuyvs h x C o s yyuxvyxivuZfs h x S i n yua????????????????????????),()())((),()(, 求）已知?。ɡ?2( 0 , ) ( , )( 0 , 0 ) ( 0 , )2 ( )( 2 2) 2( 2 0) ( 2 2)y x yyb v x y y f Z u i vu u v vdu dx dy dx dyx y y xy dx x dyu dy y dx C? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???（ ） ， 求 2220 2 2( ) 2 2 ( 2 )2x x y Cf Z x x y C x y y iiZ Z C? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 是解析函數(shù)?！ ∈埂 ∈钦{(diào)和函數(shù)，則有：，且 同理已知解析。使，求其共軛調(diào)和函數(shù)： 例CdxyxdyxuCdyxudxyuvivuZfyxvyxyyxuyxyxyxyxyxyx???????????????????????????),(),
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