復(fù)變函數(shù)與積分變換孤立奇點(diǎn)-資料下載頁(yè)
2025-07-31 08:55本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱(chēng)為f的孤立奇點(diǎn).不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有f的奇點(diǎn)存在.則在圓域|z-z0|<d內(nèi)恒有f=c0+c1+...+n+...,反過(guò)來(lái),當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f能表示為(*)的形式,有無(wú)窮多負(fù)冪項(xiàng)。z例如e不存在且不為.我們可以利用上述極限的不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型.例1函數(shù)1sinz有什么奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).是sinz的一級(jí)零點(diǎn),也就是1/sinz的一級(jí)極點(diǎn).該定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了更為簡(jiǎn)單的判別方法.對(duì)討論函數(shù)在處的性態(tài)。
【正文】 ??例 如 為 可 去 奇 點(diǎn) 。1( ) ,fzz??再 如 為 可 去 奇 點(diǎn) ,復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換111R e s [ ( ) , ] R e s [ ( ) , ] ( ) d ( ) d 0 .2 π 2 πnkk CCf z f z z f z z f z zii??? ? ? ? ?? ??定理二 如果 f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn) ,那么f(z)在所有各奇點(diǎn) (包括 ?點(diǎn) )的留數(shù)總和必等于零 . 證：除 ?點(diǎn)外 ,設(shè) f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為 zk(k=1,2,...,n).且 C為一條繞原點(diǎn)的并將 zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) , 則根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義 , 有 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換規(guī)則 4 211R e s[ ( ) , ] R e s , 0f z fzz????? ? ????????? 事實(shí)上 , 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義中 , 取正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) C為半徑足夠大的正向圓周 : | z |= ? . 令1z?? , 并設(shè) z = ? ei ?, ? = rei ?, 那么1, ddr? ? ? ? ?? ? ? ? ? , 于是有 1201R e s[ ( ) , ] ( )21()2Ciif z f z dzif e ie di????? ? ????????? 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換202201121 1 1()2 ( )iiiiiifdi r e r ef d r ei r e r e???????????????????????????? 21||1 1 1 1| | .2fdi????? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??為 正 向 211R e s , 0fzz?????????????? ( 由于 f ( z ) 在 ? | z | + ? 內(nèi)解析 , 從而 1f???????在10 | |????內(nèi)解析 . ) 所以規(guī)則 4 成立 . 定理二與規(guī)則 IV為我們提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線(xiàn)積分的又 一種方法 , 在很多情況下 , 它比利用上一段中的方法更簡(jiǎn)便 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 6 ? ? ???? 4 223415)1()2(zdzzzz計(jì)算izzzizzfi???2]0)1()21(1R e s [2]01)1(R e s [222342??????，))(3,2,1,0(2)(64 424 三階，二階個(gè)極點(diǎn)：內(nèi)有 ????keizki ??解： 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 : 計(jì)算積分41Czdzz ?? , C 為正向圓周 :| z | =2 . [ 解 ] 41zz ?在 | z | =2 的外部除 ? 外無(wú)奇點(diǎn) , 因此 44341221111)1(1zzzzzzzzfz ??????????? 于是 ? ?4 2 411d2 π Re s , 2 π Re s , 0 2 π Re s , 0 011Czzz i f z i f iz z z z??? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ???? ? ? ? ????4 , 2 .1Cz d z C zz ???例 ： 計(jì) 算 積 分 為 正 向 圓 周 ：復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換]0,1)1([Re s]),(Re s [ 2zzfzf ??? 211R e s[ ( ) , 0] ( )Cf f z dzzz ?? ? 11＝ =C2iC z R?為 包 含 的 任 一 正 向 簡(jiǎn) 單 閉 曲 線(xiàn)證明 ： ?????????????????????????????201123211011221)1()(21)(zCzCCzCzzfdzzfiCzCCzCzCzfC?121 1 1R e s [ ( ) , 0 ] ( )2 Cf C f z d zz z i??? ? ? ?
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