復變函數(shù)與積分變換習題解答-資料下載頁
2025-03-25 00:17本頁面
【正文】 有各階導函數(shù)，還要求所展成的Taylor級數(shù)的余項趨向于零，對于一個具體的函數(shù)來說，要證明其各階導數(shù)都存在，已不容易，要證明其級數(shù)的余項趨近于零就更困難了。而對復變函數(shù)來講，只要函數(shù)在的鄰域內處處解析，不僅有一階導數(shù)，且有各階導數(shù)。而實函數(shù)的可導性不能保證導數(shù)的連續(xù)性，因而不能保證高階導數(shù)的存在。（2）確定的Taylor級數(shù)的收斂半徑時，應注意什么？奇點為什么在收斂圓周上？答：一般地，在解析區(qū)域內一點的Taylor級數(shù)的收斂半徑，等于到的邊界上各點的最短距離。但在內有奇點時，是的距最近的一個奇點。因此，在確定的Taylor級數(shù)的收斂半徑時，要確定在內有無奇點，并找出距距離最近的一個奇點。奇點總是落在收斂圓周上，因為若在收斂圓內，則在圓內出現(xiàn)的不解析點；若在圓外，則收斂圓還可擴大。（3）Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)有何關系？ 答：Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的關系是：當已給函數(shù)在點處解析時，中心在，半徑等于由到函數(shù)的最近奇點的距離的那個圓域可以看成圓環(huán)域的特殊情形。在其中就可以作出羅倫級數(shù)展開式，根據(jù)柯西積分定理，這個展式的所有系數(shù)都等于零。在此情形下，計算羅倫級數(shù)的系數(shù)公式與Taylor級數(shù)的系數(shù)公式相同，所以羅倫級數(shù)就轉化為Taylor級數(shù)。因此，Taylor級數(shù)是羅倫級數(shù)的特殊情形。練 習 九1．找出下列各函數(shù)的所有零點，并指明其階數(shù)。（1）解：，所以為一階零點（2）解：（法一）令 則 為4階零點 為一階零點。（法二）令 為4階零點。為1階零點。（3），問是的幾階零點。解： 是的15階零點。2．下列各函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）。（1）解：= 為可去奇點，是簡單極點。（2）解：=，令，得，而 為可去奇點當時， 而 為一階極點（3） 解： ， 為本性奇點（4） 解：， 時為1階極點。（5）解：為奇點 為二階極點（6）解：為奇點 而 為三階極點 為簡單極點3．若與是以為零點的兩個不恒為零的解析函數(shù)，則 （或兩端均為）。證明：且≡0，是解析函數(shù) 則 其中為解析函數(shù) 且各為某一正整數(shù) （1） (2) (3) 4．問是否為下列各函數(shù)的孤立奇點？（1）解：令在除的根的內解析，而根為有限個。所以 是的孤立奇點，（2）解：令在即上不解析不是的孤立奇點。5．思考題 （1）解析函數(shù)的零點、極點、多項式的根及使有理函數(shù)的分母為零的點有什么關系？答：若為的級零點，則它是多項式的重根的推廣。因為當多項式展為Taylor級數(shù)時，只有有限多項，而現(xiàn)在有無窮多項。 若為的級極點，則它是有理函數(shù)的分母在有重零點的推廣。當有理函數(shù)在展成部分分式時也有以上形式。（2）怎樣確定極點的級？答：1）若，而在內解析且，則是的級極點。或，則是的級極點。2）若是的級零點，是的級零點。則當時，為的級零點。當時，為的級極點。 3）若是的級零點，則是的級極點。 （3）怎樣來確定點函數(shù)的性態(tài)？ 答：若函數(shù)在點的去心鄰域內解析，當點為的孤立奇點時，我們可以作變換，則變換把擴充復平面的點映射成平面上的點，擴充復平面上點的去心鄰域變?yōu)槠矫嫔显c的去心鄰域。而。從而把在內對的研究，化為在內對的研究，因為在內解析，所以在內解析，為孤立奇點。 我們規(guī)定，如果是可去奇點、級極點或本性奇點，則稱是可去奇點、級極點或本性奇點。
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