復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題解答-資料下載頁(yè)
2025-03-25 00:17本頁(yè)面
【正文】 有各階導(dǎo)函數(shù)，還要求所展成的Taylor級(jí)數(shù)的余項(xiàng)趨向于零，對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)來(lái)說(shuō)，要證明其各階導(dǎo)數(shù)都存在，已不容易，要證明其級(jí)數(shù)的余項(xiàng)趨近于零就更困難了。而對(duì)復(fù)變函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)在的鄰域內(nèi)處處解析，不僅有一階導(dǎo)數(shù)，且有各階導(dǎo)數(shù)。而實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性不能保證導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在。（2）確定的Taylor級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)，應(yīng)注意什么？奇點(diǎn)為什么在收斂圓周上？答：一般地，在解析區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)的收斂半徑，等于到的邊界上各點(diǎn)的最短距離。但在內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，是的距最近的一個(gè)奇點(diǎn)。因此，在確定的Taylor級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)，要確定在內(nèi)有無(wú)奇點(diǎn)，并找出距距離最近的一個(gè)奇點(diǎn)。奇點(diǎn)總是落在收斂圓周上，因?yàn)槿粼谑諗繄A內(nèi)，則在圓內(nèi)出現(xiàn)的不解析點(diǎn)；若在圓外，則收斂圓還可擴(kuò)大。（3）Laurent級(jí)數(shù)與Taylor級(jí)數(shù)有何關(guān)系？ 答：Laurent級(jí)數(shù)與Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系是：當(dāng)已給函數(shù)在點(diǎn)處解析時(shí)，中心在，半徑等于由到函數(shù)的最近奇點(diǎn)的距離的那個(gè)圓域可以看成圓環(huán)域的特殊情形。在其中就可以作出羅倫級(jí)數(shù)展開式，根據(jù)柯西積分定理，這個(gè)展式的所有系數(shù)都等于零。在此情形下，計(jì)算羅倫級(jí)數(shù)的系數(shù)公式與Taylor級(jí)數(shù)的系數(shù)公式相同，所以羅倫級(jí)數(shù)就轉(zhuǎn)化為Taylor級(jí)數(shù)。因此，Taylor級(jí)數(shù)是羅倫級(jí)數(shù)的特殊情形。練 習(xí) 九1．找出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并指明其階數(shù)。（1）解：，所以為一階零點(diǎn)（2）解：（法一）令 則 為4階零點(diǎn) 為一階零點(diǎn)。（法二）令 為4階零點(diǎn)。為1階零點(diǎn)。（3），問(wèn)是的幾階零點(diǎn)。解： 是的15階零點(diǎn)。2．下列各函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)）。（1）解：= 為可去奇點(diǎn)，是簡(jiǎn)單極點(diǎn)。（2）解：=，令，得，而 為可去奇點(diǎn)當(dāng)時(shí)， 而 為一階極點(diǎn)（3） 解： ， 為本性奇點(diǎn)（4） 解：， 時(shí)為1階極點(diǎn)。（5）解：為奇點(diǎn) 為二階極點(diǎn)（6）解：為奇點(diǎn) 而 為三階極點(diǎn) 為簡(jiǎn)單極點(diǎn)3．若與是以為零點(diǎn)的兩個(gè)不恒為零的解析函數(shù)，則 （或兩端均為）。證明：且≡0，是解析函數(shù) 則 其中為解析函數(shù) 且各為某一正整數(shù) （1） (2) (3) 4．問(wèn)是否為下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)？（1）解：令在除的根的內(nèi)解析，而根為有限個(gè)。所以 是的孤立奇點(diǎn)，（2）解：令在即上不解析不是的孤立奇點(diǎn)。5．思考題 （1）解析函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)、多項(xiàng)式的根及使有理函數(shù)的分母為零的點(diǎn)有什么關(guān)系？答：若為的級(jí)零點(diǎn)，則它是多項(xiàng)式的重根的推廣。因?yàn)楫?dāng)多項(xiàng)式展為Taylor級(jí)數(shù)時(shí)，只有有限多項(xiàng)，而現(xiàn)在有無(wú)窮多項(xiàng)。 若為的級(jí)極點(diǎn)，則它是有理函數(shù)的分母在有重零點(diǎn)的推廣。當(dāng)有理函數(shù)在展成部分分式時(shí)也有以上形式。（2）怎樣確定極點(diǎn)的級(jí)？答：1）若，而在內(nèi)解析且，則是的級(jí)極點(diǎn)。或，則是的級(jí)極點(diǎn)。2）若是的級(jí)零點(diǎn)，是的級(jí)零點(diǎn)。則當(dāng)時(shí)，為的級(jí)零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，為的級(jí)極點(diǎn)。 3）若是的級(jí)零點(diǎn)，則是的級(jí)極點(diǎn)。 （3）怎樣來(lái)確定點(diǎn)函數(shù)的性態(tài)？ 答：若函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析，當(dāng)點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn)時(shí)，我們可以作變換，則變換把擴(kuò)充復(fù)平面的點(diǎn)映射成平面上的點(diǎn)，擴(kuò)充復(fù)平面上點(diǎn)的去心鄰域變?yōu)槠矫嫔显c(diǎn)的去心鄰域。而。從而把在內(nèi)對(duì)的研究，化為在內(nèi)對(duì)的研究，因?yàn)樵趦?nèi)解析，所以在內(nèi)解析，為孤立奇點(diǎn)。 我們規(guī)定，如果是可去奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，則稱是可去奇點(diǎn)、級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1