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復(fù)變函數(shù)與積分變換泰勒級(jí)數(shù)-資料下載頁(yè)

2025-08-11 09:37本頁(yè)面

【導(dǎo)讀】設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,而為內(nèi)以為。中心的任何一個(gè)圓周,記作,圓周及它的內(nèi)部全含于,又設(shè)為內(nèi)任一點(diǎn)。q與積分變量z無(wú)關(guān),且0?因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f|?級(jí)數(shù)稱(chēng)為f在z0處的泰勒級(jí)數(shù).任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),例如,求ez在z=0處的泰勒展開(kāi)式,由于=ez,因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,

  

【正文】 form 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 把函數(shù) 13( ) e 0 | | .zf z z z? ? ? ? ?在 內(nèi) 展 開(kāi) 成 洛 朗 級(jí) 數(shù)解 :由 1332 3 4321 1 1 1e ( 1 )2 ! 3! 4 !110.2 ! 3! 4 !? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?zzzz z z zzz z zz23e1 2 ! 3 ! !nz z z zzn? ? ? ? ? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換注意 : 一個(gè)函數(shù) f ( z ) 可以在奇點(diǎn)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù), 也可在非奇點(diǎn)展開(kāi)。 函數(shù)可以在以 z0為中心的 (由奇點(diǎn)隔開(kāi)的 )不同圓環(huán)域內(nèi)解析 , 因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi)式 (包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例 ). 我們不要把這種情形與洛朗展開(kāi)式的唯一性相混淆 . 所謂洛朗展開(kāi)式的唯一性 , 是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式是唯一的 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例如在 z=i和 z=i處將函數(shù) 展 為洛朗級(jí)數(shù)。 12()()ifzz z i??? 在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn) : z=0與 z=i,分別在以i為中心的圓周 : |zi|=1與 |zi|=2上 . 因此 ,f(z)在以 i為中心的圓環(huán)域 (包括圓域 )內(nèi)的展開(kāi)式有三個(gè) : 1)在 |zi|1中的泰勒展開(kāi)式 。 2)在 1|zi|2中的洛朗展開(kāi)式 。 3)在 2|zi|+?中的洛朗展開(kāi)式 。 O ?i i 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換i?0在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn) : z=0在以 i為中心的圓周 :|z+i|=1上 . 因此 , f (z)在以 i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開(kāi)式有二個(gè) : 1)在 0|z+i|1中的洛朗展開(kāi)式 。 2)在 1|z+i|+?中的洛朗展開(kāi)式。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換特別的,當(dāng)洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfizz zz ?? ? ? ???1n ?? 時(shí) , 有 ???CdzzfiC )(2 11 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?(即可利用 Laurent系數(shù)計(jì)算積分) 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) ,f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例3 ? ?? ?? ??? rzz zz dzzze0 0 301)(求積分內(nèi)解析,在 ??????? ?? 03010)()( 0 zzzzezf zz??? 0L au r en t 1C系數(shù)其12 0 .iC? ?? ? ?解: 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 21l n 1 .zdzz???? ? ??????求 積 分? ????????????? ? ??????zznznnn1)1(11ln1111 ?? ?C?? ? ?解: 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 5 求積分 1| | 2d1zzzezz??? . 解: 函數(shù)1()1zzefzz??在 1 | z | + ? 內(nèi)解析 , | z | = 2 在此圓環(huán)域 內(nèi) , 把它在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)得 12221 1 1 1 1( ) 1 11 2!1251.2zf z ez z z zzzz? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?????故 c1=2, 12 4 .ic i??? ??原 式 =復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換本章重點(diǎn)與難點(diǎn) 洛朗級(jí)數(shù)的收斂特征及函數(shù)展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)的間接方法 )(zf關(guān)于 的洛朗級(jí)數(shù) “ 惟一性 ” 的理解與運(yùn)用 函數(shù)所展泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑確定方法 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換How beautiful the sea is!
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