【正文】 f’((1 – t ) a + t b) dt | 163。 242。[0, 1] | f’((1 – t ) a + t b) | dt = | f’(x) |．所以| l | = | (242。[0, 1] f’((1 – t ) a + t b) dt)/ f’(x) | = | 242。[0, 1] f’((1 – t ) a + t b) dt |/| f’(x) | 163。 1．且f(b) f(a) = (b a) 242。[0, 1] f’((1 – t ) a + t b) dt = l (b a) f’(x)．12. 如果在| z | 1內(nèi)函數(shù)f(z)解析，且| f(z) | 163。 1/(1 | z |)．試證：| f(n)(0) | 163。 (n + 1)!(1 + 1/n)n e (n + 1)!，n =1, 2, ...．【解】設(shè)K(r) = { z206。 C | | z | = r }，0 r 163。 1．由Cauchy積分公式和高階導數(shù)公式，有| f(n)(0) | = (n!/(2p)) | 242。K(r) f(z)/zn + 1 dz | 163。 (n!/(2p)) 242。K(r) | f(z) |/| z |n + 1 ds163。 (n!/(2p)) 242。K(r) 1/((1 | z |)| z |n + 1) ds = (n!/(2p))/((1 r ) r n + 1) 2pr= n!/((1 r ) r n)．為得到| f(n)(0) |的最好估計，我們希望選取適當?shù)膔206。(0, 1)，使得n!/((1 r ) r n)最小，即要使(1 r ) r n最大．當n 179。 1時，根據(jù)均值不等式，(1 r ) r n = (1 r ) (r/n) n n n 163。 (((1 r ) + (r/n) + ... + (r/n))/(n + 1))n + 1 n n = n n/(n + 1)n + 1．當1 r = r/n，即r = n/(n + 1)時，(1 r ) r n達到最大值n n/(n + 1)n + 1．因此，我們?nèi) = n/(n + 1)，此時有| f(n)(0) | 163。 n!/((1 r ) r n) = n!/(n n/(n + 1)n + 1) = (n + 1)!(1 + 1/n)n e (n + 1)!．[也可以用數(shù)學分析中的辦法研究函數(shù)g(r) = (1 r ) r n在(0, 1)內(nèi)的上確界，也會得到同樣的結(jié)果．]13. 設(shè)在| z | 163。 1上函數(shù)f(z)解析，且| f(z) | 163。 1．試證：| f’(0) | 163。 1．【解】設(shè)D = { z206。 C | | z | 163。 1 }．由高階導數(shù)公式，| f’(0) | = (1/(2p)) | 242。182。D f(z)/z 2 dz | 163。 (1/(2p)) 242。182。D 1/| z |2 ds = 1．14. 設(shè)f(z)為非常數(shù)的整函數(shù)，又設(shè)R, M為任意正數(shù)，試證：滿足| z | R且| f(z) | M的z必存在．【解】若不然，當| z | R時，| f(z) | 163。 M．而f(z)為整函數(shù)，故必連續(xù)，因此f(z)在| z | 163。 R上有界．所以f(z)在C上有界．由Liouville定理，f(z)必為常數(shù)，這與題目條件相矛盾．15. 已知u + v = (x – y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y)，試確定解析函數(shù)f(z) = u + iv．【解】由于ux + vx = 3(x2 + 2xy – y2) – 2，uy + vy = 3(x2 – 2xy – y2) – 2，兩式相加，再利用CauchyRiemann方程，有ux = 3(x2 – y2) – 2．兩式相減，再利用CauchyRiemann方程，有vx = 6xy．所以f’(z) = ux + i vx = 3(x2 – y2) – 2 + 6xy i = 3(x + y i)2 – 1 = 3 z2 – 2．因此，f(z) = z3 – 2z + a，其中a為常數(shù)．將z = 0代入，f(z) = z3 – 2z + a，得a = f(0)．把(x, y) = (0, 0)帶入u + v = (x – y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y)，得u(0, 0) + v(0, 0) = 0．設(shè)u(0, 0) = c206。R，則v(0, 0) = c．因此a = f(0) = u(0, 0) + v(0, 0) i = (1 i )c．所以，f(z) = z3 – 2z + (1 i )c，其中c為任意實數(shù)．[書上答案有誤．設(shè)f(z) = z3 – 2z + (a + b i)，則f(z) = (x + y i)3 – 2(x + y i) + (a + b i) = (x3 3xy2 – 2x + a) + (3x2y y3 – 2y + b) i．因此，u + v = (x3 3xy2 – 2x + a) + (3x2y y3 – 2y + b)= (x – y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y) + (a + b)，所以，當a + b 185。 0時，不滿足題目所給條件．]16. 設(shè)(1) 區(qū)域D是有界區(qū)域，其邊界是周線或復周線C；(2) 函數(shù)f1(z)及f2(z)在D內(nèi)解析，在閉域cl(D) = D + C上連續(xù)；(3) 沿C，f1(z) = f2(z)．試證：在整個閉域cl(D)，有f1(z) = f2(z)．【解】設(shè)f(z) = f1(z) f2(z)．用Cauchy積分公式，z206。D有f(z) = (1/(2pi))242。C f(z)/(z – z) dz = 0．所以z206。cl(D)有f(z) = 0，即f1(z) = f2(z)．$198。180。177。185。179。?163。186。197。196。@abcdefghijklmnopqrstuvwxyz165。176。192。194。195。209。213。229。242。 F^208?！?67。Y206。207。205。204。 201。202。203。203。208。222。167。168。169。170。167。NZQSDPTEHRCK171。174。172。173。175。216。218。217。200。199。219。222。220。DSGFLW182。m206。N+，$m206。N+，★225。 a1, a2, ..., an 241。lim n174。165。，+n174。165。e 0，229。 un，229。 n 179。 1 un，m206。R，e 0，$d 0，【解】242。[0, 2p] l 2 dx，f(x) = (165。, +165。)[p, p]229。1 163。 k 163。 n un，[0, 2p]i1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學習參考