【正文】 為任意實數.27. 證明： 方程組 有解的充分必要條件是：.證明：對方程組的增廣矩陣作初等行變換得到： .顯然當且僅當時，即方程組有解。28． 討論： 當參數取何值時，下列方程組有解；無解；當有解時，用導出組的基礎解系表示其通解。 解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換得到： .顯然（i）當時，方程組無解； (ii）當 時，方程組有解， 1 當時，原方程組的同解方程組： 令 ，得到方程組的通解：其中為任意實數. 2當時， ∴原方程組的同解方程組： 令 ，得到方程組的通解：，其中為任意實數.29． 設為階方陣，試證：存在非零方陣，使的充分必要條件是。 證：將階方陣按列分塊成，則，即，于是，存在非零方陣，使方程組有非零解。30. 取何值時，向量組：.（1）線性相關 ，（2）線性無關 .解：以為列向量，構造矩陣， 當時，線性無關。當時，線性相關。31. 設是方程組的個解，為個實數，并且證明： 也是方程組的解.證： . 得證.32. 設是非齊次線性方程組的1個解，是對應齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：（1） 線性無關，（2） 線性無關.證：（1）（反正）如果線性相關，因線性無關，一定由線性表示，即有：，從而 ，此與是的解矛盾，故線性無關。 （2）設有常數，使 ,即 由（1）知線性無關，故 ，線性無關.33. 設證明：其齊次線性方程組的任意個線性無關的解都是一個基礎解系.證明：因為中；所以中有個獨立變量、個自由變量 的基礎解系中只有個解向量 的無窮個解向量中只有個線性無關，任意個解向量線性相關在的無窮個解向量中任取解向量線性無關，再任取一個解向量則， ，線性相關 任意可由線性無關的線性表出 為的一個基礎解系。34. 設有向量組，當取何值時， （1）能由線性表示， （2）不能由線性表示。解：以為列向量，構造矩陣，解方程組，其中，計算系數行列式 （i） 當時，有唯一解，即可由線性表示。（ii） 當時，對方程組的增廣矩陣作初等行變換得到： ，∴方程組有無窮多解，即可由線性表示。（iii）時，方程組無解。即不能由線性表示。18