[理學(xué)]第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)-資料下載頁
2025-11-29 01:01本頁面
【正文】 1 證明函數(shù) 當(dāng) 時(shí)極限不存在 . ?證：令 ，則 iyxz ??22)(yxxzf???由此得 ， ，讓 沿直線 趨于零，我們有 22),(yxxyxu?? 0),( ?yxvkxy ?2220 22)(0 )(0 11)1(l i ml i m),(l i mkxkxyxxyxuxkxyxkxyx ????????????顯然，它隨 的不同而不同，所以 不存在 .雖然 ，但根據(jù)定理一， 不存在 . k ),(lim00yxuyx??0),(lim00???yxvyx)(lim 0 zfz?||)Re ()(zzzf ? 0?z71 練習(xí)： ? ? .0021)( 時(shí)的極限不存在在證明 ?????????? ?? zzzzzzizf? ?? ?? ?? ?? ?? ?故極限不存在時(shí)：沿第一象限的角平分線時(shí)：從而當(dāng)沿正實(shí)軸證明：令1l i m40l i m02s i ns i n2c o s2212121s i nc o s002222????????????????????zfzfririrrzzzzizzzzizfirzzz????????72 例 2 試求下列函數(shù)的極限 . （ 1） ； （ 2） zziz ?? 1lim 11l i m1 ????? zzzzzz解 （ 1） 法 1 設(shè) ，則 ，且 iyxz ?? iyxz ??zz? iyxiyx?? 222 2 2 22x y x yix y x y??????得 1li mzizz??? iyxxyiyxyxyyxx??????????? 221222212l i ml i m1173 法 2 1li mzizz??? iiizziziz ?????????11l i ml i m11（ 2） 設(shè) ，則 ，得 iyxz ?? iyxz ??11l im1zzz z zz?? ? ? ?? 1)1)(1(lim1 ???? zzzz1l im ( 1 ) 2zz?? ? ?74 ? 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 定義 5 設(shè) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) . ?若 在區(qū)域 內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù) . 定理 3 函數(shù) ，在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點(diǎn) 處連續(xù) . 定理 4 在 處連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商（分母在 處不等于零）在 處仍連續(xù) . )(zf0z)()(l i m 00zfzfzz ??)(zf0z)(zf D)(zf D),(),()( yxivyxuzf ??000 iyxz ?? ),( yxu ),( yxv),( 00 yx0z0z 0z75 例 1 求 21lim??? zziz解 因?yàn)? 在點(diǎn) 處連續(xù)，故 21??zz iz ?1l im2zizz?? ?? 55321 iii ??????76 例 2 證明 f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。 上不連續(xù)。在負(fù)實(shí)軸在負(fù)實(shí)軸上 a r ga r glim a r glim)0)(0,( )2(00zzzxxPyy?????????????故不連續(xù)。在原點(diǎn)沒有定義， ar g)()1( zzf ??證明 x y (z) o z z )0,( xP?77 定理 5 若函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略） . )( zgh ? 0z)(hfw ? )( 00 zgh ?)]([ zgfw ? 0z最值性質(zhì) 當(dāng) 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時(shí)，則 也在 上連續(xù)， 且可以取得最大值和最小值； )(zf D?|)(| zf ),(),( 22 yxvyxu ? D有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ， 使對于 上所有點(diǎn)，都有 . |)(| zf D MD |)(| zf M?78 定理 6 在有界閉集 E上連續(xù)的函數(shù) f(z),具有下 列三個(gè)性質(zhì) : (1) 在 E上 f(z)有界 ,即有常數(shù) M0,使 |f(z)|M (z屬于 E)。 (2) |f(z)|在 E上有最大值與最小值 ,即在 E上 有兩點(diǎn) z1和 z2使 |f(z)|≤|f(z1)|,|f(z)|≥|f(z2)| (z屬于 E)。 (3) f(z)在 E上一致連續(xù) ,即任給 ε0,有 δ0, 使對 E上滿足 |z1z2|δ,的任意兩點(diǎn) z1,z2 均有 |f(z1)f(z2)|ε. 79 2. 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 80 復(fù)球面與無窮大 : 在點(diǎn)坐標(biāo)是 (x,y,u)的三維空間中，把 xOy面 看作是 z面?？紤]球面 S： 取定球面上一點(diǎn) N(0,0,1)稱為球極 。 我們可以建立一個(gè)復(fù)平面 C到 S{N}之間的一 個(gè) 11對應(yīng) （ 球極射影 ） ： iyxzuyx ????? ,122239。139。39。uiyxiyxz?????81 球極射影 : 我們稱上面的映射為球極射影： 1||39。 2???zzzx1||39。 2???zzzy1||1||39。22???zzuuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。,39。,39。(39。 uyxA ( , , 0) ,? ( 39。, 39。, 39。) ,? ( 0 , 0 , 1 ) : : 1 39。 : 39。 : ( 39。 1 ) 。?x y x y ux y x y u? ? ?1 三 點(diǎn) 共 線 ；、82 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) : 對應(yīng)于球極射影為 N，我們引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)， 稱 為擴(kuò)充復(fù)平面，記為 。 ?}{??C ?Cuxy)1,0,0(N)1,0,0( ?SO)0,( yxA)39。,39。,39。(39。 uyxA83 關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ， 我們規(guī)定其實(shí)部 、 虛部 、輻角無意義 ， 模等于： 它和有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為： ???? ||??????? aa)0( ???????? aaa)(0 )。0(0 ??????? aaaa這些運(yùn)算無意義： .0/0,/,0, ?????
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