復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第3章習(xí)題詳解-資料下載頁
2025-06-25 19:47本頁面
【正文】 26． 證明：一對共軛調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù)。證明：27． 如果是一解析函數(shù)，試證：1) 也是解析函數(shù)；證明：2) 是的共軛調(diào)和函數(shù)；證明：3) 。證明：28． 證明；和都是調(diào)和函數(shù)，但是不是解析函數(shù)。證明29． 求具有下列形式的所有調(diào)和函數(shù)：1) ，與為常數(shù)；解：2) 。[提示：1)l令，因，從而有；2)令。]解：30． 由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)。1) ；解：2) ，；解：3) ，；解：4) 。解：31． 設(shè)，求的值使為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)。解：32． 如果是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，為內(nèi)以為中心的任何一個(gè)正向圓周：，它的內(nèi)部全含于。試證：[提示：利用平均值公式。]1) 在的值等于在圓周上的平均值，即；證明：2) 在的值等于，在圓域上的平均值，即。證明：33． 如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，為的正向圓周：，它的內(nèi)部全含于。設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，并令，試證。證明：34． 根據(jù)柯西積分公式與習(xí)題33的結(jié)果，證明，其中為。證明：35． 如果令，驗(yàn)證。并由34題的結(jié)果，證明。取其實(shí)部，得。這個(gè)積分稱為泊松積分。通過這個(gè)積分，一個(gè)調(diào)和函數(shù)在一個(gè)圓內(nèi)的值可用它在圓周上的值來表示。證明：36． 設(shè)在簡單閉曲線內(nèi)及上解析，且不恒為常數(shù)，為正整數(shù)1) 試用柯西積分公式證明：。證明：2) 設(shè)為在上的最大值，為的長，為到的最短距離，試用積分估值公式于1)中的等式，證明不等式：。證明：3) 令，對2)中的不等式取極限，證明：，這個(gè)結(jié)論表明：在閉區(qū)域內(nèi)不恒為常數(shù)的解析函數(shù)的模的最大值只能在區(qū)域的邊界上取得（最大模原理）。證明：13
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