【正文】 ???? 2 2 32 2 2 362()xy xy x y?????? ∴220xy??????,從而 ? 是調(diào)和函數(shù) . 但∵uxy???? uyx????? ∴不滿足 CR 方程 ,從而 ()f z u i??? 不是解析函數(shù) . ,求解析函數(shù) ()f z u i??? (1) 22u x y xy??? (2) 22, (1) 0yufxy??? 解 (1)因為 2u xyxy???? ? ? 2u yxyx???? ? ? ? ? 所以 22( , ) ( , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )0 0( 0 , 0) ( 0 , 0)222uux y x y yxdx dy C y x dx x y dy C x dx x y dy Cyxxy x y C? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 2222( ) i( 2 )22xyf z x y x y x y C? ? ? ? ? ? ? ? 令 y=0,上式變?yōu)? 22( ) i( )2xf x x C? ? ? 從而 22( ) i i2zf z z C? ? ? ? (2) 2 2 22()u xyx x y? ???? 222 2 2()u x yy x y????? 用線積分法，?。?x0,y0）為 (1,0)，有 2( , )4 2 2 2( 1 , 0 ) 12 2 2 22() 0()1 110x y xu u x yyd x d y C d x x d y Cy x x x yxxy Cx x y x y? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?????2 2 2 2( ) i( 1 )yxf z Cx y x y? ? ? ??? 由 (1) ? ，得 C=0 ? ? 1 1fiz z???? ????? 12( ) ( ) ( ) ( )np z z a z a z a? ? ? ?,其中 ( 1, 2, , )ia i n? 各不相同，閉路 C 不通過 12, , , na a a ,證明積復變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復旦大學出版社） 25 / 68 分 1 ( ) d2π ()Cpz zi p z?? 等于位于 C 內(nèi)的 p(z)的零點的個數(shù) . 證明 : 不妨設閉路 C 內(nèi) ()Pz 的零點的個數(shù)為 k, 其零點分別為 12, ,... ka a a 1 1 12312121( ) ( ) ( ) ...( ) ...( )1 ( ) 12 π i ( ) 2 π i ( ) ( ) ...( )1 1 1 1 1 1...2 π i2 π i2 π i1 1 1 11 1 ... 1 ...2 π i2 π innk k nkkCCnC C CnCCknkz a z a z a z a z aPzdz dzP z z a z a z adz dz dzz a z a z adz dz a z a????? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ???????? ? ???個zk? (無界區(qū)域的柯西積分公式 ): 設 f(z)在閉路 C 及其外部區(qū)域 D 內(nèi)解析，且 lim ( )z f z A?? ? ? ?，則 ( ) , ,1 ( ) d ,.2 πCf z A z Df A z Giz? ?? ? ? ??? ? ?? ?? 其中 G 為 C 所圍內(nèi)部區(qū)域 . 證明：在 D 內(nèi)任取一點 Z，并取充分大的 R，作圓 CR: Rz? ，將 C 與 Z 包含在內(nèi) 則 f(z)在以 C 及 RC 為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有 R1 ( ) ( )( ) [ ]2 π iCCfff z d dzz??????? ???? 因為()fzz?? ?? 在 R?? 上解析，且 ( ) 1l i m l i m ( ) l i m ( ) 11f ffzz? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 所以，當 Z 在 C 外部時，有 1 ( )() 2 π iCff z A dz? ???? ?? 即1 ( ) ()2 π iCf d f z Az? ?? ? ? ??? 設 Z 在 C 內(nèi)，則 f(z)=0，即 R1 ( ) ( )0 [ ]2 π iCCffddzz???????????? 復變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復旦大學出版社） 26 / 68 故有：1 ( )2π iCf dAz? ?? ??? 習題四 1. 復級數(shù)1 nn a???與1nn b???都發(fā)散 ,則級數(shù)1()nnn ab?? ??和1 nnn ab???發(fā)散 .這個命題是否成立 ?為什么 ? 答 .不一定．反例 : 221 1 1 11 1 1 1i , innn n n nabn n n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?發(fā)散 但2112( ) innnnab n????? ? ???收斂 112()nnnnab n????????發(fā)散 2411 11[ ( )]nnnnab nn????? ? ???收斂 . 收斂 ,是絕對收斂還是條件收斂 ? (1) 2111inn n????? (2)11 5i()2 nn???? (3) π1einn n??? (4) 1ilnnn n??? (5) 0cosi2nnn??? 解 (1) 211 1 11 i 1 ( 1 ) i 1 ( 1 ) in n nn n nn n n n?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因為11n n???發(fā)散 ,所以 2111inn n????? 發(fā)散 (2)111 5 i 2 6()22n nnn????? ???發(fā)散 又因為 1 5 i 1 5l im ( ) l im ( i) 02 2 2nnnn? ? ? ?? ? ? ? 所以11 5i()2 nn???? 發(fā)散 (3) πi11e1nnnnn???????發(fā)散 ,又因為π1 1 1π πc os i si ne1 π π( c os i si n )inn n nnnn n n n n? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?收斂 ,所以不絕對收斂 . (4) 11i1ln lnnnnnn??????? 復變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復旦大學出版社） 27 / 68 因為 11ln 1nn? ? 所以級數(shù)不絕對收斂 . 又因為當 n=2k時 , 級數(shù)化為1( 1)ln2kk k???? 收斂 當 n=2k+1時 , 級數(shù)化為1( 1)ln(2 1)kk k??? ?? 也收斂 所以原級數(shù)條件收斂 (5) 0 0 0 0c o s i 1 e e 1 e 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 2 2nn nnnnn n n nn e?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 其中0e()2nn??? 發(fā)散 ,01()2 nn e???收斂 所以原級數(shù)發(fā)散 . :若 Re( ) 0na ? ,且1 nn a???和 21 nn a???收斂 ,則級數(shù) 21 nn a???絕對收斂 . 證明 :設 2 2 2 2i , ( i ) 2 in n n n n n n n n na x y a x y x y x y? ? ? ? ? ? ? 因為1nn a???和 21 nn a???收斂 所以 21 1 1 1, , ( ) ,n n n n n nn n n nx y x y x y? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?收斂 又因為 Re( ) 0na ? , 所以 0nx? 且 2lim lim 0nnnnxx?? ???? 當 n充分大時 , 2nnxx? 所以 21 nn x???收斂 2 2 2 2 2 22 ( )n n n n n na x y x x y? ? ? ? ? 而 212nn x???收斂， 221 ()nnn xy?? ??收斂 所以 21 nn a???收斂，從而級數(shù) 21 nn a???絕對收斂 . 10()nnn zz? ?? ??的斂散性 復變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復旦大學出版社） 28 / 68 解 因為部分和 110 ( ) 1n k k nn ks z z z???? ? ? ?? ，所以， 1 , 1nzs? ? ?當 時 1 , 0nzs??當 時 ， 1,nzs??當 時 不存在 . 當 iez ?? 而 0?? 時（即 1, 1zz ??）， cosnθ 和 sinnθ 都沒有極限 ,所以也不收斂． , nzs??當 1時 . 故當 1z? 和 1z? 時 , 10 ()nnn zz? ?? ??收斂 . 0 ( 2)nnn Cz?? ??能否在 z=0處收斂而在 z=3處發(fā)散 . 解： 設 1lim nn nCC ???? ?，則當 12z ??? 時，級數(shù)收斂， 12z ??? 時發(fā)散 . 若在 z=0處收斂 ,則 1 2?? 若在 z=3處發(fā)散 , 則 1 1?? 顯然矛盾 ,所以冪級數(shù)0 ( 2)nnn Cz?? ??不能在 z=0處收斂而在 z=3處發(fā)散 ?為什么 ? (1)每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂 . (2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點 . 答 : (1) 不正確 ,因為冪級數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂 ,也可能發(fā)散 . (2) 不正確 ,因為收斂的冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂 圓周內(nèi)是解析的 . 0nnn Cz???的收斂半徑為 R,求0nnnnC zb???的收斂半徑。 解： 因為11 1 1 1 1l im l imnn nnnn nnC Cb C C b R bb?? ?? ? ? ?? ? ? 所以 R R b??? ：若冪級數(shù)0nnn az???的 系數(shù)滿足 lim n nn a ??? ? ，則 復變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復旦大學出版社） 29 / 68 (1)當 0 ?? ??? 時 , 1R ?? (2) 當 0?? 時 , R??? (3) 當 ???? 時 , 0R? 證明：考慮正項級數(shù) 2120 . . . . . .nnn a z a z a z a z?? ? ? ? ? ?? 由于 l im l im nn nnn nnnna z a z z?? ? ? ?? ? ? ?，若 0 ?? ??? ，由正項級數(shù)的根值判別法知，當 1z???時 ，即1z ?? 時 ，0nnn az???收斂。當 1z???時 ，即 1z ?? 時 ， 2nnaz 不能趨于零 ,lim 1nn nn az?? ? 級數(shù)發(fā)散 .故收斂半徑 1R??. 當 0?? 時 , 1z???,級數(shù)收斂且 R??? . 若 ???? ,對 0,z?? 當充分大時 ,必有 2nnaz 不能趨于零 ,級數(shù)發(fā)散 .且 0R? ，并寫出收斂圓周。 (1) 0( i)npn zn?? ?? (2) 0 pnn nz?? ?? (3) 1 2 1021( i) 2nnnn zn? ????? ? ?? (4) ( 1)0i( ) ( 1)n n nn zn? ?? ??? 解 : (１ ) 111l im l im ( ) l im ( 1 ) 1( 1 ) 111ppppn n nnnn nnR? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ????收斂圓周 i1z?? (2) ( 1)lim 11ppn