【正文】 }. 題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為236。fx)=239。1237。,0x,X(238。0,其他.而f)=236。237。5e5y,y0,Y(y238。0,其他.所以f(x,yX)Y,獨立fXx(gf)Yy( )236。15y=239。237。180。5e236。25e5y,0x0,=237。 238。0,238。0,其他.(2) P(Y163。X)=f(x,y)dxdy如圖y242。242。163。x242。242。25e5ydxdy D=242。0dx242。x25e5ydy=(5e5x0+5)dx=e1187。.（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 30x，y）=236。237。(1e4x)(1e2yF（),x0,y0,238。0,其他.求（X，Y）的聯(lián)合分布密度. 【解】f(x,y)=182。2F(x,y)236。182。x182。y=237。8e(4x+2y),x0,y0,238。0,其他.（X，Y）的概率密度為f（x，y）=(2x),0163。x163。1,0163。y163。x,238。0,其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=242。+165。165。f(x,y)dy236。=239。237。242。xy(2x)dy=(2x),0163。x163。1, 239。237。238。0,238。0,其他.f+165。Y(y)=242。165。f(x,y)d x236。1=(2x)dx=(34y+y2),0163。239。0,237。y163。1,238。238。0,其他. 題8圖 題9圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=236。237。ey,0xy,238。0其他.求邊緣概率密度.【解】fX(x)=242。+165。165。f(x,y)dy236。+165。yx=239。237。242。xedy=236。e,x0,239。237。238。0,238。0,其他.fY(y)=242。+165。165。f(x,y)dx31yyx236。239。242。0edx236。ye,y0, =237。 =237。其他.238。0,239。238。0, 題10圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=236。237。cx2y,x2163。y163。1,238。0,其他.（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 242。+165。+165。165。242。165。f(x,y)dxdy如圖242。242。f(x,y)dxdy D=242。1141dx242。x2cx2ydy=21c=1.得lc=214.(2) fX(x)=242。+165。165。f(x,y)dy236。=239。1212236。2124237。242。x2xydy=239。239。4237。8x(1x),1163。x163。1,238。0,239。238。0,其他.fY(y)=242。+165。165。f(x,y)dx236。=239。237。2236。75xydx=239。y2,0163。y163。1,239。237。238。0,239。2238。0, 其他.（X，Y）的概率密度為f（x，y）=237。236。1,yx,0x1,238。0,其他.求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 32 題11圖【解】fX(x)=+165。242。165。f(x,y)dyx236。239。1dy=2x,0x1, =237。242。x,fY(y)=242。+165。165。236。11dx=1+y,1y0,239。242。y239。239。1f(x,y)dx=237。242。1dx=1y,0163。y1, ,239。238。所以236。1f(x,y)239。,|y|x1, fY|X(y|x)==237。2xfX(x),236。1239。1y, yx1,239。f(x,y)239。1 fX|Y(x|y)==237。,yx1, fY(y)239。1+y239。0,，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表 33(2) 因P{X=1}gP{Y=3}=6161180。=185。=P{X=1,Y=3}, 101010010故X與Y不獨立l（2） X與Y是否相互獨立？ 【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表l(2) 因P{X=2}gP{Y=}=180。=185。=P(X=2,Y=), ，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為1236。239。ey/2,fY（y）=237。2239。238。0,y0, 其他.（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.y236。12236。1,0x1,239。e,y1,【解】（1） 因fX(x)==237。 fY(y)==237。20,其他。238。239。0,236。1y/2239。e故f(x,y)X,Y獨立fX(x)gfY(y)=237。2239。238。0,0x1,y0,其他. 34 題14圖(2) 方程a+2Xa+Y=0有實根的條件是 2D=(2X)24Y179。0故 X2≥Y，從而方程有實根的概率為：P{X2179。Y}=x179。y242。242。2f(x,y)dxdy1y/2edy002 =1F(1)F(0)]=.=242。dx242。1x2（以小時計），并設(shè)X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為236。1000239。,x1000,f（x）=237。x2,求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)FZ(z)=P{Z163。z}=P{(1) 當(dāng)z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0（2） 當(dāng)0amp。lt。zamp。lt。1時，（這時當(dāng)x=1000時,y=X163。z} YFZ(z)=242。242。y179。xz1000）(如圖a) z6+165。yz10106dxdy=103dy242。322dx 2210xyxyz230。103106246。z =103231。23247。dy= zy248。2z232。y+165。 35 題15圖(3) 當(dāng)z≥1時，（這時當(dāng)y=103時，x=103z）（如圖b）F106Z(z)=242。242。x2y2dxdy=242。+165。zy106y179。x103dy242。103x2y2dxz=242。+165。230。103106246。1103231。232。y2zy3247。248。dy=12z236。239。112z,z179。1,239。即 f239。zZ(z)=237。,0z1,239。2239。其他239。0,.238。236。239。12z2,z179。1,239。故 f239。1Z(z)=237。0z1,239。2,239。其他239。0,.238。（以小時計）近似地服從N（160，202）求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而P{min(X1,X2,X3,X4)179。180}Xi之間獨立P{X1179。180}gP{X2179。180}P{X3179。180}gP{X4179。180} =[1P{X1180}g][1PX2{1g80}P][1X3{g18P0}4X][1 =[1P{X233。230。180160246。249。41180}]4=234。235。1F231。232。20247。248。=[1F(1)]4=()4=.，Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為 只，36 {180}]P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=229。p(k)q(ik)，i=0，1，2，….k=0i【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數(shù)，所以{Z=i}={X+Y=i}={X=0,Y=i}U{X=1,Y=i1}ULU{X=i,Y=0}于是 P{Z=i}=229。P{X=k,Y=ik}X,Y相互獨立229。P{X=k}gP{Y=ik}k=0ik=0ii=229。p(k)q(ik)k=0，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n.P{X+Y=k}=229。P{X=i,Y=ki}i=0k=229。P(X=i)gP{Y=ki}i=0kk230。n246。230。n246。kink+i=229。231。247。piqni231。247。pqi=0232。i248。232。ki248。 knn230。246。230。246。k2nk=229。231。247。231。247。pqikii=0232。248。232。248。230。2n246。=231。247。pkq2nk232。k248。方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn。μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項分布.37(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1）P{X=2|Y=2}=P{X=2,Y=2} P{Y=2}P{X=2,Y=2}==, =229。P{X=i,Y=2}i=05P{Y=3|X=0}=P{Y=3,X=0} P{X=0}P{X=0,Y=3