概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下-資料下載頁(yè)
2025-06-24 20:46本頁(yè)面
【正文】 抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區(qū)間（,），則樣本容量n至少取多大？【解】 則Φ()=，,即n，所以n至少應(yīng)取25~N（1000，σ2）（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取一容量為9的樣本，事后失去了此試驗(yàn)的結(jié)果，只記得樣本方差為S2=1002，試求P（＞1062）.【解】μ=1000,n=9，S2=1002，假定有2%的樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值在4以上，求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.【解】，由P(|μ|4)=P|Z|4(σ/n)=,故,即查表得 所以 ~N（μ，16），X1，X2，…，X10是來(lái)自總體X的一個(gè)容量為10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，S2為其樣本方差，且P（S2＞a）=，求a之值.【解】查表得 所以 ，X1，X2，…，Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)統(tǒng)計(jì)量Y=，n＞5服從何種分布？【解】且與相互獨(dú)立.所以~N（20，3）的容量分別為10，.【解】令的容量為10的樣本均值，為容量為15的樣本均值,則~N(20,310), ~N(20,)，且與相互獨(dú)立.則那么所以 ~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,= 服從 分布,參數(shù)為 . 【解】i=1,2,…,15.那么且與相互獨(dú)立,所以所以Y~F分布，參數(shù)為（10,5）.~N（μ1,σ2）,總體Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1，Y2，…，分別來(lái)自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則= . 【解】令 則 又那么 ~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是總體X的一個(gè)樣本，令Y=，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互獨(dú)立.令 則 故 那么所以11. 設(shè)總體X的概率密度為f(x)= (∞x+∞),X1，X2，…，Xn為總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，求E(S2).解： 由題意，得于是 所以.習(xí)題七（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn為來(lái)自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 f（x,θ）=X1，X2，…，Xn為其樣本，試求參數(shù)θ的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以θ的矩估計(jì)量為 （x，θ），X1，X2，…，Xn為其樣本，求θ的極大似然估計(jì).（1） f（x，θ）=（2） f（x，θ）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以θ的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,n.由知所以θ的極大似然估計(jì)量為 ，結(jié)果如下：序號(hào)12345678910收益率求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 .［0，θ］上的均勻分布，今得X的樣本觀測(cè)值：,,，求θ的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)，它們是否為θ的無(wú)偏估計(jì).【解】(1) ,令，則且,所以θ的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無(wú)偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,…,8.顯然L=L(θ)↓(θ0)，那么時(shí)，L=L(θ)最大,所以θ的極大似然估計(jì)值=.因?yàn)镋()=E()≠θ,所以=不是θ的無(wú)偏計(jì).，X2，…，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=μ，D（X）=σ2， =k,問(wèn)k為何值時(shí)為σ2的無(wú)偏估計(jì).【解】令 i=1,2,…,n1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 ，X2是從正態(tài)總體N（μ，σ2）中抽取的樣本試證都是μ的無(wú)偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】（1）,所以均是μ的無(wú)偏估計(jì)量.(2) ，其直徑X~N（μ，σ2），由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知道σ2=,今隨機(jī)抽取6枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位mm）如下： .【解】n=6,σ2=,α==,.~N(μ,σ2)，σ2已知，問(wèn)需抽取容量n多大的樣本，才能使μ的置信概率為1α，且置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度為1α的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長(zhǎng)度為,那么由≤L,得n≥~N（μ，σ2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（kgcm2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） .（2） .【解】 (1) (2)~f(x)=X1,X2,…,Xn是X的一個(gè)樣本，求θ的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量.【解】(1)又故所以θ的矩估計(jì)量 (2) 似然函數(shù).取對(duì)數(shù)所以θ的極大似然估計(jì)量為~f(x)= X1,X2,…,Xn為總體X的一個(gè)樣本（1） 求θ的矩估計(jì)量；（2） 求.【解】(1) 令 所以θ的矩估計(jì)量 (2)，又于是,所以f(x,θ)= 其中θ(θ0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,…,xn是總體X的一組樣本觀察值，求θ的極大似然估計(jì)值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以θ的極大似然估計(jì)量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3Pθ2 2θ(1θ) θ2 12θ其中θ(0θ)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.【解】所以θ的矩估計(jì)值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以θ的極大似然估計(jì)值為 .F（x,β）=其中未知參數(shù)β1,α0，設(shè)X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X的樣本（1） 當(dāng)α=1時(shí)，求β的矩估計(jì)量；（2） 當(dāng)α=1時(shí)，求β的極大似然估計(jì)量；（3） 當(dāng)β=2時(shí)，求α的極大似然估計(jì)量. 【解】當(dāng)α=1時(shí)，當(dāng)β=2時(shí), (1) 令,于是所以的矩估計(jì)量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計(jì)量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時(shí), ,所以的極大似然估計(jì)量.~N（，62）中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（，），問(wèn)n至少應(yīng)取多大？zj(z)【解】,則于是則,∴ n≥35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，θ)=其中θ是未知參數(shù)（0θ1）,X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,…,：（1） θ的矩估計(jì)；（2） θ的最大似然估計(jì). 解 (1) 由于 .令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為.(2) 似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計(jì)為
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