概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下-預(yù)覽頁
【正文】 率為1α，且置信區(qū)間的長度不大于L？【解】由σ2已知可知μ的置信度為1α的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長度為,那么由≤L,得n≥~N（μ，σ2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測得數(shù)據(jù)如下（kgP(),Cov(X,Y)=P(AB) P(A)E(Y)].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 [ 2,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X，Y）的4個可能取值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)及(1,1)的概率.P{x= 1,Y= 1}=P{U≤ 1,U≤1} P{X= 1,Y=1}=P{U≤ 1,U1}=P{}=0,P{X=1,Y= 1}=P{U 1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以(x)=，（ ∞x+∞）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對定義域 ∞x+∞中的子區(qū)間（0,+∞）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY= 1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ；（3） 問X與Z是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，所以X與Z也相互獨(dú)立.，. 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= 1.YX 1 0 101 試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ. 【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY的概率分布為YX 101P所以E（XY）= +=Cov(X,Y)=E(XY) E(X)（2） E（X）。習(xí)題三，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123100300、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=0（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。（2） E（2X 3Y2）.【解】 從而(1)(2)f（x）=求（1） 系數(shù)c。當(dāng)t≥0時，利用卷積公式得故得由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）.因 而 ，所以 .(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 p,X的概率分布為P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…，故又 所以 題29圖（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) E(X)P(),D(Y)=P(B)cm2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） .（2） .【解】 (1) (2)~f(x)=X1,X2,…,Xn是X的一個樣本，求θ的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量.【解】(1)又故所以θ的矩估計(jì)量 (2) 似然函數(shù).取對數(shù)所以θ的極大似然估計(jì)量為~f(x)= X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本（1） 求θ的矩估計(jì)量；（2） 求.【解】(1) 令 所以θ的矩估計(jì)量 (2)，又于是,所以f(x,θ)= 其中θ(θ0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,…,xn是總體X的一組樣本觀察值，求θ的極大似然估計(jì)值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以θ的極大似然估計(jì)量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3Pθ2 2θ(1θ) θ2 12θ其中θ(0θ)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.【解】所以θ的矩估計(jì)值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以θ的極大似然估計(jì)值為 .F（x,β）=其中未知參數(shù)β1,α0，設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本（1） 當(dāng)α=1時，求β的矩估計(jì)量；（2） 當(dāng)α=1時，求β的極大似然估計(jì)量；（3） 當(dāng)β=2時，求α的極大似然估計(jì)量. 【解】當(dāng)α=1時，當(dāng)β=2時, (1) 令,于是所以的矩估計(jì)量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計(jì)量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時, ,所以的極大似然估計(jì)量.~N（，62）中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（，），問n至少應(yīng)取多大？zj(z)【解】,則于是則,∴ n≥35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，θ)=其中θ是未知參數(shù)（0θ1）,X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,…,：（1） θ的矩估計(jì)；（2） θ的最大似然估計(jì). 解 (1) 由于 .令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為.(2) 似然函數(shù)為，取對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計(jì)為
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