概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案下-文庫吧
2025-06-09 20:46 本頁面
【正文】 =1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）. XYy1 y2 y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX1(λ0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0p1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時(shí)有n個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) ，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨(dú)立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}.解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有 因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以推得 .26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為XY 1 0 1 101a 0 b 0 c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= ,P{Y≤0|X≤0}=，記Z=X+：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） P{X=Z}. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+=1 即 a+b+c = .由，可得.再由 ,得 .解以上關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程得.(2) Z的可能取值為2，1，0，1，2，，，即Z的概率分布為Z2 1 0 1 2P (3) .習(xí)題四X 1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) ，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 X 1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=,E(X2)=,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲俊窘狻坑汚={從袋中任取1球?yàn)榘浊騷，則 f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 ，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ 4X.【解】(1) (2) ，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X 2Y），D（2X 3Y）.【解】(1) (2) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：，故聯(lián)合密度為于是，Y的概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）。（2） E（2X 3Y2）.【解】 從而(1)(2)f（x）=求（1） 系數(shù)c。（2） E（X）。（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 ，其中9個(gè)合格品，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P由此可得 （以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元，試求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 200元 故 (元).，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=μ， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計(jì)算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)
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