復(fù)變函數(shù)與積分變換洛朗級(jí)數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-08-11 12:51本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂時(shí),原級(jí)數(shù)才收斂于它們的和.定理設(shè)f在圓環(huán)域R1<|z?C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù).項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這個(gè)級(jí)數(shù)就是f的洛朗級(jí)數(shù).解：函數(shù)f在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;內(nèi)是處處解析的,可把f在這些區(qū)域。例把在復(fù)平面上展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。
【正文】 z m為 的 級(jí) 極 點(diǎn)0l im ( ) ( ) .zz fz?? ? ? ?， 不 存 在 但 為01( ) ( )( ) mf z g zzz??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換3. 本性奇點(diǎn) 如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多 zz0的負(fù)冪項(xiàng) ,則孤立奇點(diǎn) z0稱為 f (z)的本性奇點(diǎn) . 1112( ) 0 .1112 ! !znzf z e ze z z zn? ? ???? ? ? ? ? ?例 如 以 為 它 的 本 性 奇 點(diǎn) 因 為有 無(wú) 窮 多 負(fù) 冪 項(xiàng) 。0 ()z f z為 的 本 性 奇 點(diǎn)0l im ( ) ( ) .zz fz???不 存 在 也 不 為0l imz ??1z例 如 e 不 存 在 且 不 為 .復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換綜上所述 : 000000( ) l im ( ) 。( ) l im ( ) 。( ) l im ( ) .zzzzzzz f z f zz f z f zz f z f z????? ? ???如 果 為 的 可 去 奇 點(diǎn) 存 在 且 有 限如 果 為 的 極 點(diǎn)如 果 為 的 本 性 奇 點(diǎn) 不 存 在 且 不 為我們可以利用上述極限的不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類型 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 例如當(dāng) f(z)=z(z1)3時(shí) ,z=0與 z=1是它的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn) . 根據(jù)這個(gè)定義 , 我們可以得到以下結(jié)論 : 設(shè) f(z)在 z0解析 ,則 z0是 f(z)的 m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是 : f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1),f (m)(z0)?0 . 不恒等于零的解析函數(shù) f(z)如能表示成 其中 在 z0解析且 , m為某一正整數(shù) , 則 z0稱為f(z)的 m級(jí)零點(diǎn) . 0 mf z z z z???（ ） （ ） （ ）z?（ ） 0z? ?（ ） 0復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 1 函數(shù) 1 s i n z 有什么奇點(diǎn) ? 如果是極點(diǎn) , 指出它的級(jí) . 解 ： 函數(shù) 1 / s i n z 的奇點(diǎn)顯然是使 s i n z =0 的點(diǎn) . 故奇點(diǎn)是z = k ?? ( k =0 , ? 1, ? 2 ,…). 由于 ( s i n z )39。| z = k ?? = co s z | z = k ?? = ( ? 1)k ? 0, 所以 z = k ?? 是 s i n z 的一級(jí)零點(diǎn) , 也就是 1 / s i n z 的一級(jí)極點(diǎn) . 該定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了更為簡(jiǎn)單的判別方法 . 001()()z f z m z mfz?定 理 ： 是 的 級(jí) 極 點(diǎn) 是 的 級(jí) 零 點(diǎn)復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換? ??? ????? ?? !!21 1)( 11 mzzzzf mn01zn? ? ?為 級(jí)極點(diǎn).2 1 ( 0 )zz k i e kp= ?為 的一級(jí)零點(diǎn)2 ( ) ( 0 ) .z k i f z k?? ? ?為 的一級(jí)極點(diǎn)( ) ( 0 )1nzzf z ne???例 2 求 的 極 點(diǎn) 。復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 為解析點(diǎn)；0:0 ?? zm 為可去奇點(diǎn)；0:1 ?? zm???????? ??????????? )!1(!!21)(:112mzmzzzzzfmmmm?? ???????? ?? )!1(!11!211 11 m zmzz mm01zm? ? ?為 級(jí)極點(diǎn)。mzzezf 1)( ??對(duì) 討論函數(shù) 在 處的性態(tài)。 mZ? 0z?
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