復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)-資料下載頁(yè)
2025-08-11 12:51本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】即是積分過(guò)程中唯一殘留下來(lái)的系數(shù),為此。定理一設(shè)函數(shù)f在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,注意檢查定理中的條件要滿足。不能應(yīng)用留數(shù)定理。如果知道奇點(diǎn)的類型,對(duì)求留數(shù)會(huì)更有利.如果z0是f的可去奇點(diǎn),則Res[f,z0]=0.z0,右端的極限是(m-1)!就是Res[f,z0],即得規(guī)則2,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1。事實(shí)上,因?yàn)镼=0及Q'?
【正文】 , R為半徑的在上半平面的半圓周 . 取 R適當(dāng)大 , 使 R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn) zk都包在這積分路線內(nèi) . z1 z2 z3 y CR ?R R O x 不失一般性 , 設(shè) 1111( ) , 2nnnmmmz a z aR z m nz b z b??? ? ?? ? ?? ? ?為一已約分式 . 2 . 形如 ( ) dR x x?????的積分 當(dāng)被積函數(shù) R ( x ) 是 x 的有理函數(shù) , 而分母 的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次 , 并且 R ( x )在實(shí)軸上沒(méi)有孤立奇點(diǎn)時(shí) , 積分是存在的 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0( ) ,1( ) d ( ) d π Re s[ ( ) , ] .2 kRxR x x R x x i R z z? ? ? ????? ???如 果 為 偶 函 數(shù)( ) d 2 π Re s[ ( ) , ] .kR x x i R z z???? ? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 3 ? ???? ???? dxxx x 1242計(jì)算在上半平面其中的四個(gè)一階極點(diǎn)為214,32,12422222224,2321,2321:1)(0)1)(1()1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz?????????????????????? ?3343134312]),(R e s []),(R e s [2 21???????????? ???????iiiiizzfzzfi復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 4 2101( 1 ) n dxx????? ??計(jì) 算,1)1( 1)( 12 iznzzf n ???? ? 階極點(diǎn)在上半平面只有一個(gè)21112 ( 1 ) nI dxx?????? ??解： 121211 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 2R e s [ ( ) , ]! ! ( 2 )( 1 ) ( 2) 2 ( 2 1 ) ! !! 2 2 ( 2 ) ! !nnnzind n n ni f z i i in dz z i n in n n nnn? ? ???????? ? ???? ? ? ??????? ? ?? ? ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換也可寫為 ( ) c os d ( ) sin d2 π Re s[ ( ) , ] .aiz kR x ax x i R x ax xi R z e z??? ? ? ??????973. ( ) ( )( ) e d 2 π Re s[ ( ) e , ] .ixaix aizkR x e dx PR x x i R z z????????????形 如 的 積 分有 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 5 計(jì)算 的值 . 220sin ( 0)xxI dx axa??????解 :這里 m=2,n=1,mn=(z)在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn) ,因而所求的積分是存在的 . 在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn) ai, 22() zRz za? ?22 e d 2 π Re s[ ( ) e , ]ix izx x i R z aixa???? ???e2 l im 2 π π .2iz aaz iazei i iez ia????? ? ? ??2 2 2 20sin 1 1d I m ( ) .22ix ax x xx e d x ex a x a ?? ? ? ? ?????????因 此復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0sin .2x dxx??? ??復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 本章重點(diǎn)與難點(diǎn) 12???、 孤 立 奇 點(diǎn) 的 分 類重 點(diǎn)、 函 數(shù) 在 各 類 奇 點(diǎn) 處 留 數(shù) 的 求 法???1 、 利 用 留 數(shù) 計(jì) 算 復(fù) 變 函 數(shù) 的 定 積 分難 點(diǎn)2 、 留 數(shù) 在 計(jì) 算 定 積 分 中 應(yīng) 用復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換拓展思考 復(fù)變函數(shù)中的可去奇點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)中可去間斷點(diǎn)有何共同之處 ?
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