復(fù)變函數(shù)論第三版課后習(xí)題答案-資料下載頁(yè)
2025-01-08 20:50本頁(yè)面
【正文】 (z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) + Arg ((z3 – z2)/(z3 – z4)) = Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1) ， 所以， (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)仍為實(shí)數(shù)． [證完 ] 這個(gè)題目寫(xiě)的很長(zhǎng)，歡迎同學(xué)們給出更簡(jiǎn)單的解法． 11. 試證：方程 | z z1 |/| z z2 | = k ( 0 k 1， z1 z2 )表示 z 平面的一個(gè)圓周，其圓心為 z0，半徑為 ，且 z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |． 【解】 到兩定點(diǎn)距離成定比的點(diǎn)的軌跡是圓或直線．當(dāng)比值不等于 1 時(shí)，軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓就是平面幾何中著名的 Apollonius 圓． 設(shè) 0 k 1， z1 z2， z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |． z ， | z z0 | = | z (z1 k2 z2)/(1 k2) | = k | z1 z2|/| 1 k2 | | z(1 k2) (z1 k2 z2) | = k | z1 z2 | | (z z1) k2 (z z2)| = k | z1 z2| | (z z1)/k k (z z2) | = | z1 z2| | (z z1)/k k (z z2) | = | (z z1) (z z2) | | (z z1)/k k (z z2) |2 = | (z z1) (z z2) |2 | z z1 |2/k2 + k2 | z z2 |2 = | z z1 |2 + | z z2 |2 (1/k2 1)| z z1 |2 = (1 k2 ) | z z2 |2 | z z1 |2/k2 = | z z2 |2 | z z1 |/| z z2 | = k． [證完 ] 直接地雙向驗(yàn)證，可能需要下面 的結(jié)論，其幾何意義非常明顯的． 命題 ：若復(fù)數(shù) z, w 0，則 | | z | w /| w | | w | z /| z | | = | w z |． 證明：我們用 z*表示復(fù)數(shù) z 的共軛． | | z | w /| w | | w | z /| z | |2 = | | z | w /| w | |2 + | | w | z /| z | |2 2Re[( | z | w /| w |) (| w | z /| z |)* ] = | z |2 + | w |2 2Re( w z* ) = | w z |2． 或更直接地， | | z | w /| w | | w | z /| z | | = | | z | w /| w | | w | z /| z | | | z* /| z | | | w* /| w | | = | (| z | w /| w | | w | z /| z |) (z*/| z |) (w*/| w |) | = | (| z | (z*/| z |) | w | (w*/| w |)) | = | w z |． 12. 試證： Re(z) 0 | (1 z)/(1 + z) | 1，并能從幾何意義上來(lái)讀本題． 【解】 Re(z) 0 點(diǎn) z 在 y 軸右側(cè) 點(diǎn) z 在點(diǎn) 1 和點(diǎn) 1 為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的右側(cè) 點(diǎn) z 在點(diǎn) 1 和點(diǎn) 1 為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的與 1 同側(cè)的那一側(cè) 點(diǎn) z 到點(diǎn) 1 的距離大于點(diǎn) z 到點(diǎn) 1 的距離 |1 + z | | 1 z | | (1 z)/(1 + z) | 1． 不用幾何意義 可以用下面的方法證明： 設(shè) z = x + i y， x, y ． | (1 z)/(1 + z) | 1 |1 + z | | 1 z | |1 + z |2 | 1 z |2 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2 2Re(z) Re(z) 0． [由本題結(jié)論，可知映射 f(z) = (1 z)/(1 + z)必然把右半平面中的點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)的點(diǎn)．并且容易看出，映射 f(z)把虛軸上的點(diǎn)映射到單位圓周上的點(diǎn)． 問(wèn)題 ： f(z)在右半平 面上的限制是不是到單位圓的雙射？ f(z)在虛軸上的限制是不是到單位圓周的雙射？ ] ? ??? √167。 167。 m +， m +，★ ? ?1, ?2, ..., ?n lim n ， +n 0， un， n 1 un，m ， 0， 0，【解】 [0, 2 ] l 2 dx， f(x) = ( , + )[ , ] 1 k n un， [0, 2 ]
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