復(fù)變函數(shù)論第三版課后習(xí)題答案-閱讀頁(yè)
2025-01-23 20:50本頁(yè)面
【正文】 (21)i(21 令 )i(21 BAa ?? ，則 )i(21 BAa ?? ，上式即為 Czaza ?? 。 8．證明： z 平面上的圓周可以寫成 z z z c??? ? ? ? 其中 A、 C為實(shí)數(shù)， 0,A ?? 為復(fù)數(shù)，且 2 AC? ? 。 10．求下列方程（ t是實(shí)參數(shù)）給出的曲線。即直線 xy? 。 11．函數(shù) zw1? 將 z平面上的下列曲線變成 w 平面上的什么曲線 ? ?ivuwiyxz ???? , ？ （ 1） xy? ； （ 2） ? ? 11 22 ??? yx 解 222211 yx yiyx xiyxzw ??????? ， 2222 , yx yvyx xu ????? ，可得 （ 1） ? ? vyx yyx yyx xu ?????????? 222222 是 w 平面上一直線； （ 2） ? ? 21211 222222 ????????? yx xxyxyx ， 于是 21?u ，是 w 平面上一平行與 v軸的直線。 證 設(shè) zzf arg)( ? ，因?yàn)?f(0)無定義，所以 f(z)在原點(diǎn) z=0處不連續(xù)。而 argz在 z平面上的其它點(diǎn)處的連續(xù)性顯然。 證 由于 ? ? 01l i ml i ml i m 42062 400 ????? ???? xxxx xzfxxxyz ? ? 21l i ml i m 66 6003??? ??? yyyzfyyxz ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 0 , 6 2 3 y x xy z f 可知極限 ??zfz 0lim? 不存在，故 ??zf 在原點(diǎn)處不連接。 ( /2) M/n + /2． 因 lim n (M/n) = 0，故 L +，使得 n L，有 M/n /2． 令 N = max{K, L}，則當(dāng) n K 時(shí)，有 | (z1 + z2 + ... + zn)/n z0 | M/n + /2 /2 + /2 = ． 所以， lim n (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0． (2) 當(dāng) z0 時(shí)，結(jié)論不成立．這可由下面的反例看出． 例： zn = ( 1)n 證 由于 yxyxyxyxz ??????? 22222 及 ? ?22222 222222 yxyxyxyxyxz ????????? 有 yxzyx ????2 6. 設(shè) | z | = 1，試證： | (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1． (z*表示復(fù)數(shù) z 的共軛 ) 【解】 此題應(yīng)該要求 b* z + a* 0． | a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | z | = | a* z* z | = | a* | z |2 + b* 39。 2z39。39。 1z 39。 3 我們將采用下述的觀點(diǎn)來證明： 以 z1, z2, z3 為頂點(diǎn)的三角形和以 w1, w2, w3為頂點(diǎn)的三角形同向相似的充要條件是：將它們的一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都平移 到原點(diǎn)后，它們只相差一個(gè)位似旋轉(zhuǎn)． 記 f1(z) = z z1 (將 z1變到 0 的平移 )； f3(z) = z w1 (將 0 變到 w1 的平移 )； 那么，三角形 z1z2z3 與三角形 w1w2w3同向相似 存在某個(gè)繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)位似變換 f2(z) = z0 z， 使得 f2 ( f1(zk)) = f3(wk)， (k = 2, 3)，其中 z0 \{0} 存在 z0 \{0}，使得 z0(zk z1) = wk w1， (k = 2, 3) (w2 w1)/(z2 z1) = (w3 w1)/(z3 z1) 13131212 wwzz wwzz ?? ?? = 0 1110013131212wwzzwwzz???? = 0 111332211wzwzwz = 0． [證完 ] 9. 試證：四個(gè)相異點(diǎn) z1, z2, z3, z4 共圓周或共直線的充要條件是 (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)為實(shí)數(shù)． 【解】 在平面幾何中，共線的四個(gè)點(diǎn) A, B, C, D 的交比定義為 (A, B。 w /| w | | w | w /| w | | w | w /| w | |2 + | | w | w /| w |) z /| z |)* ] = | z |2 + | w |2 2Re( w w /| w | | w | w /| w | | w | | z* /| z | | w /| w | | w | (z*/| z |) (z*/| z |) | w | ? ??? √167。 m +， m +，★ ? ?1, ?2, ..., ?n lim n ， +n 0， un， n 1 un，m ， 0， 0，【解】 [0, 2 ] l 2 dx， f(x) = ( , + )[ , ] 1 k n un， [0, 2 ]
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