復(fù)變函數(shù)論第三版課后習(xí)題答案-展示頁
2025-01-17 20:50本頁面
【正文】 f(z)在 E = { z | Im(z) = 0, 0 Re(z) 1 }上的限制即可． ] 17. 試證：復(fù)數(shù)列 zn = xn + i yn以 z0 = x0 + i y0為極限的充要條件是實數(shù)列 {xn}及 {yn}分別以x0 及 y0為極限． 【解】 ( ) 若復(fù)數(shù)列 zn = xn + i yn以 z0 = x0 + i y0為極限， 則 0， N +，使得 n N，有 | zn z0 | ． 此時有 | xn x0 | | zn z0 | ； | yn y0 | | zn z0 | ． 故實數(shù)列 {xn}及 {yn}分別以 x0及 y0為極限． ( ) 若實數(shù)列 {xn}及 {yn}分別以 x0 及 y0 為極限，則 0， N1 +，使得 n N1，有 | xn x0 | /2； N2 +，使得 n N2，有 | yn y0 | /2． 令 N = max{N1, N2}，則 n N，有 n N1且 n N2， 故有 | zn z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | | xn x0 | + | yn y0 | /2 + /2 = ． 所以，復(fù)數(shù)列 zn = xn + i yn以 z0 = x0 + i y0為極限． 20. 如果復(fù)數(shù)列 {zn}合于 lim n zn = z0 ，證明 lim n (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0． 當(dāng) z0 時，結(jié)論是否正確？ 【解】 (1) 0， K +，使得 n K，有 | zn z0 | /2． 記 M = | z1 z0 | + ... + | zK z0 |，則當(dāng) n K 時，有 | (z1 + z2 + ... + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + ... + (zn z0) |/n ( | z1 z0 | + | z2 z0 | + ... + | zn z0 |)/n = ( | z1 z0 | + ... + | zK z0 |)/n + ( | zK +1 z0 | + ... + | zn z0 |)/n M/n + (n K)/n 14． 設(shè) 00??zz 求證 ??zf 在原點處不連接。 當(dāng) z0為負實軸上的點時，即 )0( 000 ?? xxz ，有 ???????????????????? ??????? ????????? ????xyxyzyxxyxxzz a r c t a nl i ma r c t a nl i ma r gl i m00000 所以 zzz arglim0? 不存在，即 zarg 在負實軸上不連續(xù)。 13．試證 )arg(arg ?? ??? zz 在負實軸上（包括原點）不連續(xù)，除此而外 在 z 平面上處處連續(xù)。 （ 2） ?20,s i nc oss i nic osi ????? ??????? ttby taxtbtayxz，即為橢圓 12222 ??byax ； （ 3） ????? ???????tytxttyxz 1ii，即為雙曲線 1?xy ； （ 4） ????? ???????2222 1iitytxttyxz ，即為雙曲線 1?xy 中位于第一象限中的一支。 （ 1） tz i)1( ?? ； （ 2） tbtaz sinicos ?? ； （ 3） ttz i?? ； （ 4） 22 ittz ?? ， 解（ 1） ??? ???????????? tty txtyxz ,)i1(i 。 證明：設(shè)圓方程為 22( ) 0A x y Bx Dy C? ? ? ? ? 其中 0,A? 當(dāng) 224B D AC?? 時表實圓； 將 22 11, ( ) , ( )22x y z z x z z y z zi? ? ? ? ? ?代入，得 11( ) ( ) 022A z z B D i z B D i z c? ? ? ? ? ? 即 z z z c??? ? ? ? 其中 11( ) , ( )22B D i B D i??? ? ? ? 且 2 2211( ) 444B D A C A C? ? ? ? ? ?； 反之：令 ,z x yi a bi?? ? ? ?代入 20 ( )A z z z z c A C? ? ?? ? ? ? ? 得 22( ) 0 ,A x y Bx Dy C? ? ? ? ?其中 2 , 2B a B b?? 即為圓方程。 反之：將 ,z x yi z x yi? ? ? ?，代入 Czaza ?? 得 ( ) ( )a a x i a ia y c? ? ? ? 則有 Ax By C?? ；即為一般直線方程。 （ 8） 1 3 1,2 2 2 2iz z i? ? ? ?且 解：令 z x yi?? 由1223122izzi
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