【正文】 線內被積函數只有一個奇點，故此同上題一樣：‘。（1） （2） （3） （4） （5）解：各積分的被積函數的奇點為：（1），（2）即，（3） （4）為任意整數，（5）被積函數處處解析，無奇點 不難看出，上述奇點的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內被積函數解析，因此根據柯西基本定理，以上積分值都為0。證明：記，則由積分估計式得 ，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得 ， 證畢。解：只需注意，若記，則 流場的流速為， 流線為， 等勢線為， 因此，有（1）流速為，流線為，等勢線為 （2）流速為，流線為，等勢線為 （3） 流速為，流線為 ，等勢線為 習題三答案1． 計算積分，其中為從原點到的直線段解：積分曲線的方程為，即 ，代入原積分表達式中，得 2． 計算積分，其中為（1）從0到1再到的折線 （2）從0到的直線解：（1）從0到1的線段方程為：， 從1到的線段方程為：，代入積分表達式中，得；（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達式中，得 ，對上述積分應用分步積分法，得3． 積分，其中為（1）沿從0到 （2）沿從0到 解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達式中，得（2）積分曲線的方程為 ， ，代入積分表達式中，得 4． 計算積分，其中為（1）從1到+1的直線段 （2）從1到+1的圓心在原點的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得 （2）的方程為，代入，得 5． 估計積分的模,其中為+1到1的圓心在原點的上半圓周。14． 設，證明證明：由復數的三角不等式，有 ，由已知，再主要到時單調增加，因此有 ，同理， 證畢。13． 證明 （即）證明：首先， 右端不等式得到證明。12． 證明證明：首先有 ，因此 ，第一式子證畢。（2）左端 右端 其中為任意整數，而 不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應；反之，對于右端任意的，當為偶數時，左端可取于其對應，而當為奇數時，左端可取于其對應。6． 計算下列各值（若是對數還需求出主值）（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（2）， 為任意整數， 主值為：（3） ， 為任意整數主值為：（4）（5） ， 為任意整數（6），當分別取0，1，2時得到3個值： ， ， 7． 求和解：，因此根據指數函數的定義，有 ， ，（為任意整數）8． 設，求解：，因此 9． 解下列方程：（1） （2）（3） （4）解：（1）方程兩端取對數得： （為任意整數）（2）根據對數與指數的關系，應有 （3）由三角函數公式（同實三角函數一樣），方程可變形為 因此 即 ， 為任意整數（4）由雙曲函數的定義得 ，解得 ，即，所以 ，為任意整數10．證明羅比塔法則：若及在點解析，且，則，并由此求極限 證明：由商的極限運算法則及導數定義知，由此， 11． 用對數計算公式直接驗證：（1） （2）解：記，則（1）左端， 右端， 其中的為任意整數。（3）由已知，為常數，等式兩端分別對求偏導數，得 （1）因解析，所以又有 （2）求解方程組（1）、（2），得 ，說明 皆與無關，因而為常數，從而也為常數。5． 證明：若在區(qū)域D內解析，且滿足下列條件之一，則在D內一定為常數。（3）， 四個一階偏導數皆連續(xù)，因而 處處可微，并且 處處滿足柯西—黎曼方程 因此，函數處處可導，處處解析，且導數為 （4）， ， ， 因函數的定義域為，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數處處不可導，處處不解析。（1） （2）（3） （4）解：根據柯西—黎曼定理：（1）， 四個一階偏導數皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：， 因此，函數在點可導， ， 函數處處不解析。習題二答案1． 指出下列函數的解析區(qū)域和奇點，并求出可導點的導數。（4）， 顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實方程為 ，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應為上述雙曲線左邊一支的左側部分，是一無界單連通區(qū)域。15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。代入化為實方程得 （4）說明動點到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。（2）是由到的距離大于或等于的點構成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點集。 對于，其方程可表示為代入映射函數中，得 因而映成的像曲線的方程為 ，消去參數，得，表示一半徑為的圓周。 對于，由的定義不難看出，當由實軸上方趨于時，而當由實軸下方趨于時，由此說明不存在，因而在點不連續(xù)，即在負實軸上不連續(xù)，結論得證。12．證明：幅角主值函數在原點及負實軸上不連續(xù)。10．下列參數方程表示什么曲線？（其中為實參數）（1） （2） （3）