【正文】 1． 試證：若滿(mǎn)足傅氏積分定理的條件，則有證明：根據(jù)付氏積分公式，有 2． 求下列函數(shù)的傅氏變換：（1） （2）（3） （4）解：（1）f(t)(2) (3)(4) 由于 所以3． 求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。(1) 證明(2) 證明。解：(1) 由傅氏積分公式，當(dāng)時(shí) 所以，根據(jù)傅氏積分定理 (2) 由傅氏積分公式 所以，根據(jù)傅氏積分定理 5． 求下列函數(shù)的傅氏變換：(1) (2) (3) (4) 解：（1） (2) (3) 由于 所以 (4) 由于 所以 6． 證明：若其中為一實(shí)函數(shù)，則 其中為的共軛函數(shù)。證明：由于 所以 于是有 7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。證明：由于 所以 對(duì)上述積分作變換，則 8．證明下列各式：(1) （為常數(shù)）；(2) 證明：（1） （2） 9．計(jì)算下列函數(shù)和的卷積：(1) (2) (2) (2) 解: (1) 顯然，有 當(dāng)時(shí)，由于=0，所以 ；當(dāng)時(shí)， （2）顯然，有 所以，當(dāng) 或 或 時(shí)，皆有=0。于是 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。又 所以 從而 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，總結(jié)上述，得 。10．求下列函數(shù)的傅氏變換：(1) (2) (3) (4) 解：（1）由于 根據(jù)位移性質(zhì) （2） （3）根據(jù)位移性質(zhì) 再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì) （4）由于 根據(jù)微分性質(zhì) 再根據(jù)位移性質(zhì) 。 習(xí)題八1． 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的定義知：(2) 解：由拉氏變換的定義以及單位脈動(dòng)函數(shù)的篩選性質(zhì)知：2. 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：(2) 解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：(3) 解：法一：利用位移性質(zhì)。由拉氏變換的位移性質(zhì)知：法二：利用微分性質(zhì)。令 則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：即 (4) 解：因?yàn)?故由拉氏變換的位移性知：(5) 解：故(6) 解：因?yàn)?即： 故(7) 解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。法二：利用微分性質(zhì)。令則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：又因?yàn)樗? (8) 解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。因?yàn)? 故 法二：利用微分性質(zhì)。令，則 故由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故3. 利用拉氏變換的性質(zhì)計(jì)算下列各式： (1) 求解：因?yàn)樗杂衫献儞Q的位移性質(zhì)知： (2) 求解：設(shè) 則由拉氏變換的積分性質(zhì)知：再由微分性質(zhì)得：所以 4. 利用拉氏變換的性質(zhì)求 (1) 解：法一：利用卷積求解。設(shè) 則而由卷積定理知：法二：利用留數(shù)求解。顯然在 內(nèi)有兩個(gè)2級(jí)極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)， ： (2) 解：法一：利用卷積求解。設(shè) 則而 由卷積定理知 法二：用留數(shù)求解。顯然在 內(nèi)有兩個(gè)2級(jí)極點(diǎn)。除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)， ：法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。由(1)題知 故 即 5. 利用積分性質(zhì)計(jì)算(1) 解：設(shè) 由拉氏變換的微分性質(zhì)得： 所以 (2) 解：在(1)題中取得 由拉氏變換的位移性質(zhì)知： 再由拉氏變換的積分性質(zhì)得 6. 計(jì)算下列積分：(1) 解：由拉氏變換表知：取則 (2) 解：7．求下列函數(shù)的拉氏逆變換： (1) 解：因 取得 故 (2) 解：因?yàn)?而 所以 (3) 解：設(shè)則是的四級(jí)極點(diǎn)。 除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)， ： 下面來(lái)求留數(shù)。因?yàn)?故.所以 (4) 解：設(shè) 則在內(nèi)具有兩個(gè)單極點(diǎn) 除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)， ：(5) 解：設(shè)分別為的一階、二階極點(diǎn)。，：(6) 解：設(shè) 顯然 查表知 故由卷積定理得：(7) 解：設(shè) 則 因?yàn)?所以 故 (8) 解：，因?yàn)?所以 即：8. 求下列函數(shù)的拉氏逆變換：(1) 解：由拉氏變換表知：所以 (2) 解：而 所以 (3) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 由卷積定理知，所以 (4) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 故 所以 (5) 解：因?yàn)?故由卷積定理知：又因?yàn)? 所以 (6) 解：由拉氏變換表知：所以 9. 求下列卷積： (1) 解：`因?yàn)? 所以 (2) （m, n為正整數(shù)）； 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解：因?yàn)?當(dāng)時(shí)，故當(dāng) 時(shí)，即 (6) 解：設(shè) 則 所以當(dāng) 即 時(shí)，上式為0.當(dāng) 即 時(shí)，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：10. 利用卷積定理證明下列等式： (1) 證明：因?yàn)?故由卷積定理：也即 ，證畢。 (2) 證明：因?yàn)?故由卷積定理知：證畢。11. 解下列微分方程或微分方程組： (1) 解：設(shè) 對(duì)方程兩邊取拉氏變換，得代入 得：用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有： (2) 解：設(shè) 對(duì)方程兩邊同時(shí)取拉氏變換，得代入初值條件，得：求拉氏逆變換得方程的解為： (3) 解：設(shè) 用拉氏變換作用方程兩邊，得：代入初值條件，有： 即： 因?yàn)?所以由卷積定理求拉氏逆變換得： (4) 解：設(shè) 用拉氏變換作用在方程兩邊得：將初始條件代入，得： 因?yàn)? 所以 因此 故方程的解： (5) 解：設(shè) 對(duì)方程兩邊取拉氏變換，得：代入初始條件，整理得： ： 又因?yàn)? 故 因?yàn)? 所以方程的解 (6) 解：設(shè) 對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得： 求解該方程組得： 取拉式逆變換得原方程組的解為： (7) 解：設(shè) 對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：整理計(jì)算得：下求的拉氏逆變換：因?yàn)?故由卷積定理可得同理可求 所以方程組的解為 (8) 解：設(shè) 對(duì)方程組的每個(gè)方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：解此方程組得：取拉氏逆變換得原方程組的解為：12. 求解積分方程 解：令 由卷積定理 知 將拉氏變換作用于原方程兩端，得：也即： 取拉式逆變換得原方程的解為：