【正文】 以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 ： 由于，從而因此在內(nèi)有 5．解：設(shè), 則. 6．解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個一級極點因此 .四、證明：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為，在內(nèi)連續(xù), 所以, 當時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)：由于是的階零點，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域, 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 .《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分） √ √ √ √ √ √ √二、填空題（20分） 1 1 整函數(shù) 8 三、計算題（30）解：解： 因此 故 .解：解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 解：設(shè), 則. 解：設(shè)則在內(nèi)有兩個一級極點，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題（10分）解：設(shè)則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.設(shè),則將區(qū)域保形變換為區(qū)域設(shè)則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十）參考答案一、判斷題（40分）：1.√ 2. √ 3.√ 4. 5. √ 6. 7. √ 8. √ 9. √ 10. √二、填空題（20分）：1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（40分）1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設(shè)，有3. 解： 4. 解：， 故，5. 解：令， 則，在內(nèi)均解析，且當時由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同.故在內(nèi)僅有一個根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十一）參考答案一、1．　　2．√　?。常　。矗獭　。担潭?． 1 2．　?。常　。矗担叮　? ７．　　　　　　８．159. 10. 三、1．解： .又 .故.: (1) 奇點為對任意整數(shù), 為二階極點, 為本性奇點. (2) 奇點為為本性奇點,對任意整數(shù),為一級極點,為本性奇點.3. (1)解: 共有六個有限奇點, 且均在內(nèi),由留數(shù)定理,有 將在的去心鄰域內(nèi)作展開 所以.(2)解: 令,則 再令則,故由留數(shù)定理,有：儒歇定理：設(shè)為一條圍線，若函數(shù)與均在內(nèi)部及上解析且，則與在內(nèi)部的零點個數(shù)相同.令, 則在內(nèi)解析且當時 ,由儒歇定理的根個數(shù)與根個數(shù)相同故在內(nèi)有4個根.四、: 由在上半平面內(nèi)解析,從而有因此有故在下半平面內(nèi)解析.: (1) 則 故,即在上為的上升函數(shù). (2)如果存在及使得則有 于是在內(nèi)恒為常數(shù),從而在內(nèi)恒為常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）參考答案一、判斷題.1. 2. 3. 4. √ 5. 二、填空題.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 三、計算題.： 由 得 從而有：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點，為的一階極點。 （2）解：（1）（2）設(shè)令， 則 ：設(shè)是一條圍線，及滿足條件： （1）它們在的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到； （2）在上，則與在的內(nèi)部有同樣多零點，即 有 由儒歇定理知在沒有根。四、證明題1證明：.設(shè) 有 易知，在任意點都不滿足條件，故在復(fù)平面上處處不解析。：于高階導數(shù)公式得 即故 從而《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十三）參考答案一、填空題．（每題２分）1. 2. 及 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 二、計算題．１．計算下列各題．（９分）解: (1) (2) (3) 2. 解: 故共有三個根: , , 3. 解: 是調(diào)和函數(shù). 4. 解 (1) (2) 5. 解: 時 時 6. 解: (1) (2) : 設(shè) 和為上半平面內(nèi)的兩個一級極點,且 8. (1) (2) 9. 解: 設(shè),則 當且僅當時,滿足條件,故僅在可導,在平面內(nèi)處處不解析.三、1. 證明: 設(shè),因為為常數(shù),不妨設(shè) (為常數(shù)) 則 由于在內(nèi)解析,從而有, 將此代入上述兩式可得 于是 因此在內(nèi)為常數(shù).2. 解: 設(shè), （，為實常數(shù)）則故的軌跡是直線 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十四）參考答案一、 且0 有限值 4 橢圓 二、計算題。 解（1） （2） （3） =解： 故：方程共有三個根，分別為：解： 故是調(diào)和函數(shù)。4. 解: (1) (2) 5. 解: = 6. 解: (1) (2) 7. 解: 設(shè) 則, 令則在內(nèi)只有一級權(quán)點, ,依離數(shù)定理有 8. 解: (1) 即 . 故 (2) 設(shè), 則因解析,由條件有,解得.三 1. 證明 設(shè),由 有,又也在也解析,有,由與得故在內(nèi)為常數(shù).2. 證明,設(shè)有即點在直線上為實常數(shù).