【正文】 為________________.5．___________________.6．級數(shù)的收斂半徑為____________________.7．在（為正整數(shù)）內零點的個數(shù)為_____________________.8．函數(shù)的零點的階數(shù)為_____________________.9．設為函數(shù)的一階極點，且，則_____________________.10．設為函數(shù)的階極點，則_____________________.三、計算題（50分）1．設。求，使得為解析函數(shù)，（為復平面內的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）3．計算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4．敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設是上半復平面內的解析函數(shù)，證明是下半復平面內的解析函數(shù).（10分）2．設函數(shù)在內解析，令。（每題2分）1． _____________________。9．若為函數(shù)的一個本質奇點，且在點的充分小的鄰域內不為零，則是的________________奇點。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復平面上的解析性。 4. 1。 3. 。 2. 。 10. . 三. 計算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當時, 故, 且在圓內只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內解析, 且在上, , 所以在內, , 即原方程在 內只有一個根.四. 證明題.1. 證明 因為, 故. 這四個偏導數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（六）參考答案一、判斷題：1.√ 2. 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7. 8.√ 9.√ 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計算題：1. 解：因為 故.2. 解： 因此 故 .： ： 5．解：設, 則. 6．解：四、1. 證明：設則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內的根的個數(shù)為6. ：設，則, 由于在內解析，因此有 , .于是故，即在內恒為常數(shù). ：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.《復變函數(shù)》考試試題（七）參考答案一、判斷題：1.√ 2. √ 3. 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于，從而. 因此在內有 5．解：設, 則. ：設，則，故奇點為.四、證明題：1. 證明：設則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為7.：設，則 已知在區(qū)域內解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關于實軸的對稱點應該變到關于圓周的對稱點，故可設《復變函數(shù)》考試試題（八）參考答案一、判斷題：1.√ 2. 3. √ 4. 5.√ 6.√ 7. √ 8. 9. √ 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計算題：1. 解：由于在解析，所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 ： 由于，從而因此在內有 5．解：設, 則. 6．解：設, 則 在內只有一個一級極點因此 .四、證明：1. 證明：設則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為，在內連續(xù), 所以, 當時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內連續(xù)：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.五、解：，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域, 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 .《復變函數(shù)》考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分） √ √ √ √ √ √ √二、填空題（20分） 1 1 整函數(shù) 8 三、計算題（30）解：解： 因此 故 .解：解： 由于，從而. 因此在內有 解：設, 則. 解：設則在內有兩個一級極點，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）證明：設則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內的根的個數(shù)為6.證明：設，則, 由于在內解析，因此有 , .于是故，即在內恒為常數(shù).證明：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.五、計算題（10分）解：設則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.設,則將區(qū)域保形變換為區(qū)域設則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為《復變函數(shù)》考試試題（十）參考答案一、判斷題（40分）：1.√ 2. √ 3.√ 4. 5. √ 6. 7. √ 8. √ 9. √ 10. √二、填空題（20分）：1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（40分）1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設，有3. 解： 4. 解：， 故，5. 解：令， 則，在內