【正文】 為_(kāi)_______________.5．___________________.6．級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)___________________.7．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____________________.8．函數(shù)的零點(diǎn)的階數(shù)為_(kāi)____________________.9．設(shè)為函數(shù)的一階極點(diǎn)，且，則_____________________.10．設(shè)為函數(shù)的階極點(diǎn)，則_____________________.三、計(jì)算題（50分）1．設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）3．計(jì)算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個(gè)數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分）2．設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。（每題2分）1． _____________________。9．若為函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的________________奇點(diǎn)。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。 4. 1。 3. 。 2. 。 10. . 三. 計(jì)算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當(dāng)時(shí), 故, 且在圓內(nèi)只以為一級(jí)極點(diǎn), 在上無(wú)奇點(diǎn), 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個(gè)根.四. 證明題.1. 證明 因?yàn)? 故. 這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明 取 , 則對(duì)一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對(duì)一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案一、判斷題：1.√ 2. 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7. 8.√ 9.√ 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計(jì)算題：1. 解：因?yàn)? 故.2. 解： 因此 故 .： ： 5．解：設(shè), 則. 6．解：四、1. 證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6. ：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). ：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）參考答案一、判斷題：1.√ 2. √ 3. 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計(jì)算題：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 5．解：設(shè), 則. ：設(shè)，則，故奇點(diǎn)為.四、證明題：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.：設(shè)，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).五、計(jì)算題解：根據(jù)線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性知關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)，故可設(shè)《復(fù)變函數(shù)》考試試題（八）參考答案一、判斷題：1.√ 2. 3. √ 4. 5.√ 6.√ 7. √ 8. 9. √ 10.二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計(jì)算題：1. 解：由于在解析，所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 ： 由于，從而因此在內(nèi)有 5．解：設(shè), 則. 6．解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)因此 .四、證明：1. 證明：設(shè)則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7 2. 證明：因?yàn)?，在?nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時(shí)有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).五、解：，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域, 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 .《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分） √ √ √ √ √ √ √二、填空題（20分） 1 1 整函數(shù) 8 三、計(jì)算題（30）解：解： 因此 故 .解：解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 解：設(shè), 則. 解：設(shè)則在內(nèi)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）證明：設(shè)則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè) ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).五、計(jì)算題（10分）解：設(shè)則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.設(shè),則將區(qū)域保形變換為區(qū)域設(shè)則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十）參考答案一、判斷題（40分）：1.√ 2. √ 3.√ 4. 5. √ 6. 7. √ 8. √ 9. √ 10. √二、填空題（20分）：1. 2. 3. 4. 5. 三、計(jì)算題（40分）1. 解：在上解析，由積分公式，有 2. 解：設(shè)，有3. 解： 4. 解：， 故，5. 解：令， 則，在內(nèi)