【正文】 數(shù)相同故在內(nèi)有4個(gè)根.四、: 由在上半平面內(nèi)解析,從而有因此有故在下半平面內(nèi)解析.: (1) 則 故,即在上為的上升函數(shù). (2)如果存在及使得則有 于是在內(nèi)恒為常數(shù),從而在內(nèi)恒為常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）參考答案一、判斷題.1. 2. 3. 4. √ 5. 二、填空題.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 10. 三、計(jì)算題.： 由 得 從而有：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點(diǎn)，為的一階極點(diǎn)。 8. 。 6. 0。 4. 。 2. 。 9. 。 7. 0。 5. 整函數(shù)。 3. 。 10. .三. 計(jì)算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個(gè)根.四. 證明題.1. 證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù), 得 因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對(duì)一切正整數(shù) 時(shí), . 于是由的任意性知對(duì)一切均有. 故, 即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù). 《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案一. 判斷題.1．√ ２． ３． ４．?。担?．√ ７．８． ９．√10．√ .二. 填空題.1. , 。 8. 。6. 1。 4. 1。 2. 。 (3) 2．求解方程．（７分）３．設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計(jì)算積分．（10分）(1) ，其中是沿由原點(diǎn)到點(diǎn)的曲線．(2) ，積分路徑為自原點(diǎn)沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到．５．試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)．（８分）６．計(jì)算下列積分．（８分）(1) ；　　　 (2) ．７．計(jì)算積分．（８分）８．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)??；　　　　　　　　(2)　．９．討論的可導(dǎo)性和解析性．（６分）三、證明題．１．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)．（５分）《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十四）一、填空題．（每題２分）１．設(shè)，則___________________．２．設(shè)函數(shù)，則的充要條件______________________．３．設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_________________________．４．設(shè)為的可去奇點(diǎn)，____________________．５．設(shè)，則是的________階零點(diǎn)．６．設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________．７．設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是_________________．８．設(shè)，則的三角表示為_________________________．９．___________________________．１０．設(shè)，則在處的留數(shù)為________________________．二、計(jì)算題．１．計(jì)算下列各題．（９分）(1) ； 　(2) 。 此處是圍繞原點(diǎn)的一條簡單曲線。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點(diǎn)，并求這些點(diǎn)的留數(shù) （10分） （2）求。三、計(jì)算題（50分）1．設(shè)區(qū)域是沿正實(shí)軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。9．若為函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的________________奇點(diǎn)。7．級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________。5．若，則_______________。3．若已知，則其關(guān)于變量的表達(dá)式為__________。（每題2分）1． _____________________。 （ ）5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。 （ ）3．且。（正確者在括號(hào)內(nèi)打√，錯(cuò)誤者在括號(hào)內(nèi)打，每題2分）1．設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。求，使得為解析函數(shù)，（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）3．計(jì)算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個(gè)數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分）2．設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。8. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為_________.9. 的孤立奇點(diǎn)為________.10. 設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三. 計(jì)算題. (40分)1. 求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2. 計(jì)算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到的直線段.3. 求積分：，其中0a1.4. 應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里在上解析，并且.四. 證明題. (20分)1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2. 設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明:是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）一、 判斷題（30分）：1. 若函數(shù)在解析，則在連續(xù). （ ）2. 若函數(shù)在處滿足CaychyRiemann條件，則在解析. （ ）3. 若函數(shù)在解析，則在處滿足CaychyRiemann條件. （ ）4. 若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則. （ ）5. 若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）6. 若在區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）7. 若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（ ）8. 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（ ）9. 如果函數(shù)在上解析，且,則.（ ）10. .（ ）二、 填空題（20分）1. 若，則___________.2. 設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________.3. 函數(shù)的周期為_______________________.4. _______________________.5. 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________.6. 若是的階零點(diǎn)且，則是的____________零點(diǎn).7. 若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是______________.8. 函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.10. 公式稱為_____________________.三、 計(jì)算題（30分）.設(shè)，其中，試求.設(shè)，求.求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.求的值.四、 證明題（20分） 方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6. 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù). 若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（