實(shí)變函數(shù)論word版-資料下載頁(yè)
2025-01-07 15:14本頁(yè)面
【正文】 上可測(cè)。 （ 2） 若 )}({ xfk 是 E 上的可測(cè)函數(shù)列，則下列函數(shù) ① )}({sup1 xfkk?。 ② )}({inf1 xfkk?。 ③ )(lim xfkk ??。 ④ )(lim xfkk ?? 都是 E上可測(cè)函數(shù) （ 3） 若 )}({ xfk 是 E 上的可測(cè)函數(shù)列，且有 )()(lim xfxfkk ???，則 )( xf 是 E 上的可測(cè)函數(shù)。 積分 Lebesgue 積分的定義 Def 4：設(shè) )(xf 是 ? ????? mERE n 上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，我們定義 )(xf 是 E 上的勒貝格積分 ? ???E E nxfxh Rxhdxxhdxxf })(,)({su p)( )()( 上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)是 這里的積分可以是 ?? ，若 ? ??E dxxf )(，則稱 )(xf 在 E上 Lebesgue 可積的。設(shè) )(xf 是nRE? 上的可測(cè)函數(shù)，若積分 ? ?E dxxf )(， ??E dxxf )(至少有一個(gè)是有極限值，則稱?? ? ?? ?? EE E dxxfdxxfxdxf )()()()( 為 )(xf E上可積函數(shù)的全體記作 )(1EL 。 Lebesgue 積分與 Riemann 積分的關(guān)系 實(shí)變函數(shù)課程報(bào)告 第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè) Th1：設(shè) )(xf 是定義在有界閉區(qū)間 [a,b]上的有界函數(shù)，則 )(xf 在 [a,b]上是 Riemann 可積的充要條件是 )(xf 在 [a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集是零測(cè)集。 Th2：若 )(xf 在有界閉區(qū)間 [a,b]上是 Riemann 可積的，則 )(xf 在 [a,b]上也是 Lebesgue可積的，其積分值相同。 Lebesgue 外測(cè)度是對(duì) nR 中一般的點(diǎn)集 E 給出的一種度量，是長(zhǎng)度、面積和體積等概念的推廣，是 Lebesgue 積分的基石，它成功的解決了 Riemann 積分只適用于連續(xù)函數(shù)的的最大缺限，所以對(duì)其性質(zhì)和計(jì)算的研究是非常重要的，本論文主要論述了它的一些性質(zhì)和相關(guān)的證明。首先，給出了 Lebesgue 外測(cè)度的定義；接著著重指出和證明了外測(cè)度具有的非負(fù)性、單調(diào)性、次可數(shù)可加性、距離可加性、平移不變性這五大主要性質(zhì)；然后給出了測(cè)度的定義與性質(zhì)；最后延伸介紹了可測(cè)數(shù)函數(shù) 與 Lebesgue 積分。 [1] 胡適耕 .實(shí)變函數(shù) (第二版） [M].北京 :高等教育出版社， 2022. [2] 周民強(qiáng) .實(shí)變函數(shù)論（第二版） [M].北京 :北京大學(xué)出版社， 2022. [3] 周民強(qiáng) .實(shí)變函數(shù)解題指南 [M].北京 :北京大學(xué)出版社， 2022.
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