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實變函數(shù)測試題與答案-資料下載頁

2025-06-22 13:53本頁面
  

【正文】 分定理知:d=。一、填空:(共10分)1.如果 則稱是自密集,如果 則稱是開集,如果則稱是 ,稱為的 .2.設(shè)集合可表示為一列開集之交集:,則稱為 . 若集合可表示為一列閉集之并集:,則稱為 .3.(Fatou引理)設(shè)是可測集上一列非負(fù)可測函數(shù),則 .4.設(shè)為上的有限函數(shù),如果對于的一切分劃,使成一有界數(shù)集,則稱為上的 ,并稱這個數(shù)集的上確界為在上的 ,記為 .二、選擇填空:(每題4分,共20分)1.下列命題或表達(dá)式正確的是 A. B. C.對于任意集合,有或 D.2.下列命題不正確的是 A.若點集是無界集,則 B.若點集是有界集,則C.可數(shù)點集的外測度為零 D.康托集的測度為零3.下列表達(dá)式正確的是 B. D.4.下列命題不正確的是 A.開集、閉集都是可測集 B.可測集都是Borel集C.外測度為零的集是可測集 D.型集,型集都是可測集5.下列集合基數(shù)為(可數(shù)集)的是 A.康托集 B.C.設(shè)是整數(shù), D.區(qū)間中的無理數(shù)全體三、(20分)敘述并證明魯津(Lusin)定理的逆定理四、(20分)設(shè),是上有限的可測函數(shù),證明:存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù),使得于 五、(10分)證明 六、(10分)設(shè)是滿足Lipschitz條件的函數(shù),且于,則為增函數(shù)七、(10分)設(shè)是上的有界變差函數(shù),證明也是上的有界變差函數(shù)一、填空題:(共10分),(或) 閉集,閉包型集,型集 有界變差函數(shù),全變差, 二、選擇填空:(每小題4分,共20分)D A D B C三、(20分)定理:設(shè)有限于,若對于任意的,總有閉集,使,且在上連續(xù),則是上的可測函數(shù). 證 對任意的正整數(shù),存在閉集使,且在上連續(xù),從而在上可測 設(shè),則是可測集,且,于是 在上可測 由于,只須證在上可測,事實上,對任意的,是可測集在上可測在上可測 (5分)四、(20分)證明 在上可測,由Lusin定理,對任何正整數(shù),存在的可測子集,使得,同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù),使得當(dāng)時有 (7分)所以對任意的,成立, 因此 ,存在的子列,使于,記,則于 五、(10分)證明 設(shè)則在上連續(xù),因而可積可積,且 取,則,而由Lebesgue有界收斂定理六、(10分)證 因為滿足Lipschitz條件,所以是絕對連續(xù)函數(shù),對任意的,由牛頓—萊布尼茲公式(1)(2) (2)—(1)是上的單調(diào)函數(shù) 七、(10分) 證 是有界變差函數(shù),因而是有界函數(shù),于是, 對的任意分劃有 因此也是上的有界變差函數(shù)
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