實變函數(shù)測試題與答案-資料下載頁
2025-06-22 13:53本頁面
【正文】 分定理知：d=。一、填空：（共10分）1．如果 則稱是自密集，如果 則稱是開集，如果則稱是 ，稱為的 .2．設(shè)集合可表示為一列開集之交集：，則稱為 . 若集合可表示為一列閉集之并集：，則稱為 .3．（Fatou引理）設(shè)是可測集上一列非負(fù)可測函數(shù)，則 .4．設(shè)為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使成一有界數(shù)集，則稱為上的 ，并稱這個數(shù)集的上確界為在上的 ，記為 .二、選擇填空：（每題4分，共20分）1．下列命題或表達(dá)式正確的是 A． B． C．對于任意集合，有或 D．2．下列命題不正確的是 A．若點集是無界集，則 B．若點集是有界集，則C．可數(shù)點集的外測度為零 D．康托集的測度為零3．下列表達(dá)式正確的是 B． D．4．下列命題不正確的是 A．開集、閉集都是可測集 B．可測集都是Borel集C．外測度為零的集是可測集 D．型集，型集都是可測集5．下列集合基數(shù)為（可數(shù)集）的是 A．康托集 B．C．設(shè)是整數(shù)， D．區(qū)間中的無理數(shù)全體三、（20分）敘述并證明魯津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）設(shè)，是上有限的可測函數(shù)，證明：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得于 五、（10分）證明 六、（10分）設(shè)是滿足Lipschitz條件的函數(shù)，且于，則為增函數(shù)七、（10分）設(shè)是上的有界變差函數(shù)，證明也是上的有界變差函數(shù)一、填空題：（共10分）,（或） 閉集，閉包型集，型集 有界變差函數(shù)，全變差， 二、選擇填空：（每小題4分，共20分）D A D B C三、（20分）定理：設(shè)有限于，若對于任意的，總有閉集，使，且在上連續(xù)，則是上的可測函數(shù). 證 對任意的正整數(shù)，存在閉集使，且在上連續(xù)，從而在上可測 設(shè)，則是可測集，且，于是 在上可測 由于，只須證在上可測，事實上，對任意的，是可測集在上可測在上可測 （5分）四、（20分）證明 在上可測，由Lusin定理，對任何正整數(shù)，存在的可測子集，使得，同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)時有 （7分）所以對任意的，成立， 因此 ，存在的子列，使于，記，則于 五、（10分）證明 設(shè)則在上連續(xù)，因而可積可積，且 取，則，而由Lebesgue有界收斂定理六、（10分）證 因為滿足Lipschitz條件，所以是絕對連續(xù)函數(shù)，對任意的，由牛頓—萊布尼茲公式（1）（2） （2）—（1）是上的單調(diào)函數(shù) 七、（10分） 證 是有界變差函數(shù)，因而是有界函數(shù)，于是， 對的任意分劃有 因此也是上的有界變差函數(shù)
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