實(shí)變函數(shù)第一章答案-資料下載頁(yè)
2025-06-22 17:17本頁(yè)面
【正文】 第一章總練習(xí)題 證明下列集合等式．(1) ；(2) ．證明 (1) 因?yàn)?,.所以.(2) 因?yàn)樗? 證明下列集合等式．(1) ；(2) ．證明 (1) .(2) .3．證明：，其中為定義在的兩個(gè)實(shí)值函數(shù)，為任一常數(shù)．證明 若, 則有且, 于是,故. 所以.4．證明：中的一切有理點(diǎn)之集與全體自然數(shù)之集對(duì)等．證明 因?yàn)?所以(). 又因?yàn)? 所以, 故.5．有理數(shù)的一切可能的序列所成之集具有什么基數(shù)？6．證明：一切有理系數(shù)的多項(xiàng)式之集是可數(shù)集．證明 設(shè)于是顯然 所以 ：7．證明：一切實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式之集的基數(shù)為．證明 記于是顯然 所以 ：8．證明：全體代數(shù)數(shù)(即可作為有理系數(shù)多項(xiàng)式之根的數(shù))之集是可數(shù)集，并由此說(shuō)明超越數(shù)(即不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù))存在，而且全體超越數(shù)之集的基數(shù)是．證明 由于有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可數(shù)集，設(shè)其元素為 記多項(xiàng)式的全體實(shí)根之集為 由于次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集，從而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個(gè)有限集的并，故為可數(shù)集，即設(shè)超越數(shù)全體所成之集為 即 則 從而必為無(wú)限集，由于為可數(shù)集，而任一無(wú)限集添加一個(gè)可數(shù)集其基數(shù)不變，故9．證明：，則．證明 因?yàn)橛忠驗(yàn)樗杂杀２⑿灾?0．證明：若則．證明 (反證法) 假設(shè) 則由已知可得 這與矛盾. 故有.11．證明：若，則或．證明 假設(shè) 則有 這與矛盾，故有或.12．證明：若，則存在使得．證明同上.
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