【正文】 有限可加，那么在和存在著巴拿赫測度，使得任何子集都可測.在和上，存在著正則的（即的測度是）、有限可加的、對運(yùn)動(dòng)不變的測度，.第3章 習(xí)題解答1. 證明：若有界，則.證明： 有界，有 由下確界的定義，有 .2. 證明：可數(shù)點(diǎn)集的外側(cè)度為零.證明：設(shè)為可數(shù)點(diǎn)集，令對每一個(gè)存在一個(gè)開區(qū)間（取其邊長為的開區(qū)間，包含），使得 ，且. ，而..3. 設(shè)是直線上一有界集合，則對于任意小于的正數(shù)，恒有的子集，使.證明：設(shè)，上的連續(xù)函數(shù)：當(dāng)時(shí)， .于是當(dāng)時(shí)，即是右連續(xù)的.用類似的方法可證明時(shí)，所以是上的連續(xù)函數(shù).因此對任意正數(shù)，.4. 設(shè)…,是一些互不相交的可測集合，,求證…….證明：…可測，且互不相交.有 令 有, .5. 若，則可測.證明：對點(diǎn)集，下證.由外側(cè)度的可數(shù)可加性有：.又 .可測.6. 證明康托爾三分集的測度為零.證明：設(shè)，,…，為第次去掉的開區(qū)間.令.則 .令，則.則，.則. .，證明.證明： 是可測集，由卡拉泰奧多里條件. .另一方面，又有，由，所以，于是代入前式得 .8. 證明：若可測，則對于任意，恒有開集及閉集，使，而，.證明： 當(dāng)時(shí)，對任意，存在一列開區(qū)間，使，則為開集，且，因此 ，從而 . 當(dāng)時(shí)，總可表為可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測集的和；，對每個(gè)應(yīng)用上面結(jié)果，可找到開集，使且，令，為開集，且 .因此 .又當(dāng)可測時(shí)，也可測，所以對任意有開集， ，令，則是閉集，且.，存在兩列可測集，使得且 ，則可測.證明：對任意，，所以對任意i，.令 ，由，.12. 設(shè)是中可測集，若，證明，對任意可測集,.證明：令則可測，.則由于都可測，則都可測..且則，第四章 可測函數(shù)在本書的引言中，我們提到過，一種新的積分是曲邊梯形的面積“橫”著數(shù)，即把函數(shù)的值域分割成小段近似在中，. 然后求和，在取極限.我們要研究的數(shù)必須使得集合.如果是上的連續(xù)函數(shù)，.167。1可測函數(shù)及其性質(zhì)聲明： 上的實(shí)函數(shù)可以取，也稱為非真正的實(shí)數(shù)，.注：有界函數(shù)必是有限函數(shù)，但反之不真. 有界函數(shù)：均有.規(guī)定： 是全體有限實(shí)數(shù)的上確界，是全體有限實(shí)數(shù)的下確界；（為任何有限實(shí)數(shù)）.從而對于上（下）方無界的遞增（減）數(shù)列，總有 .對于任何有限實(shí)數(shù)，，對于任何有限實(shí)數(shù) ， ，，. 反之，，，都認(rèn)為是無意義的. 一個(gè)定義在上的實(shí)函數(shù)確定了的一組子集 （簡記作），定義1 ，都是可測集，則稱為定義在上的可測函數(shù).定理1 設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，下列任一條件都是在上可測的充要條件：⑴ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑵ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑶ 對任何有限實(shí)數(shù)，都可測；⑷ 對任何有限實(shí)數(shù)， ，都可測（但充分條件要假定是有限函數(shù)）.證明 與對于是互余的，同樣與對于也是互余的，故在前三個(gè)條件中，只需要證明⑴的充要性. 事實(shí)上，易知 ，在上可測，對于，可測，則可測，由可測集的性質(zhì)知， 可測. 由⑴可知，可測，則可測. 可測.⑷ (若不是有限函數(shù)，）即為有限函數(shù)時(shí)，推論 設(shè)在上可測，則總可測，不論是有限實(shí)數(shù)或.證明 只需注意，.例1 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是可測函數(shù).（不限于區(qū)間或域）上的連續(xù)函數(shù)是怎樣定義的.定義2 定義在上的實(shí)函數(shù)稱為在連續(xù)，如果有限，而且對于的任一領(lǐng)域，存在的某領(lǐng)域，使得，即只要且時(shí)，則稱在上連續(xù). （一個(gè)函數(shù)在其定義域中的每一個(gè)孤立點(diǎn)都是連續(xù)的.）定理2 可測集上的連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù).（反之不然，反例，狄利克萊函數(shù)）證明： 設(shè)，則由連續(xù)性假設(shè)，存在的某領(lǐng)域，使.因此，令，則 .反之，顯然有，因此（因?yàn)樗且蛔彘_集之并），而為可測集，故其交仍為可測集.定理3 ⑴設(shè)是可測集上的可測函數(shù)，而為E的可測子集，則看作定義在上的函數(shù)時(shí)，它是上的可測函數(shù)；⑵設(shè)定義在有限個(gè)可測集的并集上，且在每個(gè)上都可測，則在上也可測.證明 ⑴對于任何有限數(shù)，.由假設(shè)等式右邊是可測集.⑵ 是可測集而且對于有限數(shù)，有.由假設(shè)等式右邊也是可測集.定義3 設(shè)的定義域可分為有限個(gè)互不相交的可測集，,使在每個(gè)上都等于某常數(shù)，則稱為簡單函數(shù).例如，在區(qū)間上的狄利克萊函數(shù)便是簡單函數(shù).定義在可測集上的常值函數(shù)顯然是可測的，.引理 設(shè)與為上的可測函數(shù)，則與都是可測集.證明 因，亦即，則必存在有理數(shù)，使，亦即，反之亦然.因此，設(shè)有理數(shù)全體為則，但由定理1，等式右邊顯然是可測集.定理4 設(shè)，在上可測，則下列函數(shù)（假定它們在上有意義）皆在上可測；⑴； ⑵； ⑶； ⑷證明：我們先對⑴和⑷中當(dāng)（有限常數(shù)）時(shí)的特殊情形進(jìn)行證明.關(guān)于只需注意. 由定義1知，可測.關(guān)于，則當(dāng)時(shí)，顯然是可測的；當(dāng)時(shí)只需注意⑴ ，右邊括弧中的是可測函數(shù)（它是上述⑴，⑷特殊情形的結(jié)合），故由引理知右邊是可測集.⑵ ⑶ ⑷ 定理5 設(shè)是上一列（或有限個(gè)）可測函數(shù)，則與都在上可測.證明 由于 ， 而得證.定理6 設(shè)是上一列可測函數(shù)，則，也在上可測，特別當(dāng)存在時(shí)，它也在上可測.證明 由于 ， ，重復(fù)利用定理5即得證.設(shè)是定義在上的實(shí)函數(shù)，令則和都是上非負(fù)函數(shù)，我們有 ，.注：1..，易知它們分別是，某個(gè)實(shí)函數(shù)的正部及負(fù)部的充要條件是.，則也是上的可測函數(shù).，.定理7 （可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系）（1） 若在上非負(fù)可測，則存在可測簡單函數(shù)列，使得對任意,，且；（2） 若在上可測，則存在可測簡單函數(shù)列，使得對任意，若還在上有界，則上述收斂是一致的.證明 （1），將劃分為等份，令 ；作函數(shù)列則是簡單函數(shù)，且.設(shè)，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，于是對任意的，.（2） 若是一般的可測函數(shù)，則，（1），存在可測簡單函數(shù)列和，使得對任意，.令，則是可測簡單函數(shù)列，且對任意，.若在有界，設(shè)，則由（1）的證明可知，任意對，，因此，從而在上一致收斂于.定義4 設(shè)是一個(gè)與幾何的點(diǎn)有關(guān)的命題，如果存在的子集，滿足，使得在上恒成立，也就是說，是零測度集，則我們稱在上幾乎處處成立，.例2 ；上的狄利克雷函數(shù) .注意：根據(jù)零測度性質(zhì)，，.例3 ，.167。2 葉果洛夫定理在數(shù)學(xué)分析中知道，一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，，.定理（葉果洛夫定理） 設(shè)，則對任意，存在子集，使在上一致收斂，且.證明 由條件，，其中這是因?yàn)?用替代，不妨設(shè)，都是有限函數(shù)，且在上幾乎處處成立.由第一章167。5（* *）式，在上不收斂于的點(diǎn)集.由假定，因此對任意固定的，由于，而，因此由第三章167。2定理9，.于是對任意和任意正整數(shù)存在，使.令.下證滿足定理要求得結(jié)論.由于,因此.為證在上一致收斂于，任取，存在，使，,因此，對任意，且對任意,成立，這就說明了在上一致收斂于.這個(gè)定理告訴我們，即使不一致收斂，也是“基本上”（指去掉一個(gè)測度可任意小的某點(diǎn)集外）.要注意當(dāng)時(shí)，.167。3 可測函數(shù)的構(gòu)造在167。，一般的可測函數(shù)可以說是“基本上連續(xù)”.定理1（魯津），則對任意，存在閉子集,使在上是連續(xù)函數(shù)，且.簡言之，“基本上連續(xù)”的函數(shù).證明：從特殊到一般分三種情況來討論. 簡單函數(shù)情形設(shè)，各可測互不相交，且當(dāng)，對于，由于是可測集，從而可知存在閉子集，,則為閉集且.下證所以限制在上是連續(xù)函數(shù).有界可測情形若有界，則由第一節(jié)定理，存在可測簡單函數(shù)列，由，存在閉集,，則為閉集且.由于在上連續(xù)，且一致收斂于，因此在上連續(xù).一般的可測函數(shù)情形由于，則在上有界可測，由，存在閉集，使得在上連續(xù).因?yàn)?，所以在上連續(xù)注：.先考慮簡單函數(shù)，然后再往一般的可測函數(shù)過渡，在許多場合下是行之有效的方法..連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)，可測函數(shù)基本上都是連續(xù)函數(shù)..魯津定理的逆定理成立.定理：設(shè)是上有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉集及整個(gè)上的連續(xù)函數(shù)（及依賴于），使得在上，及.證明：由定理，存在閉集，使在上連續(xù)且.下面將閉集上的連續(xù)函數(shù)延拓成整個(gè)上的連續(xù)函數(shù).由于是閉集，故是開集，從而是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并集（這些區(qū)間中可能包括一到兩個(gè)無限長的區(qū)間），由于各的端點(diǎn)屬于，可將按下面方式在各中保持線性而且連續(xù)的延拓為：則為所求函數(shù)，事實(shí)上由的做法知，當(dāng)時(shí)有，并且有并且有及..下證中的點(diǎn)也是的連續(xù)點(diǎn).任取，對任何，因?yàn)樵谏线B續(xù)，必有，使得當(dāng)時(shí)，有.如果，所以在點(diǎn)左連續(xù).如果，設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，有，.因此 而當(dāng)時(shí)，那么有的構(gòu)成區(qū)間，由式，有.因?yàn)榈闹到橛谂c之間，因此對，式也成立，因此在點(diǎn)連續(xù).167。4 依測度收斂定義：設(shè)是上的一列有限的可測函數(shù)，若有上有限的可測函數(shù)滿足下列關(guān)系：對任意有，則稱函數(shù)列依測度收斂于，或度量收斂于，記為：用說法：對任意及，存在正數(shù)，使時(shí)，注：依測度收斂推不出幾乎處處收斂幾乎處處收斂的函數(shù)列也可以不是依測度收斂的例：依測度收斂而處處不收斂的函數(shù)列.取，將等分，定義兩個(gè)函數(shù)：然后將四等分、八等分，對每個(gè)，作個(gè)函數(shù)：把先按后按的順序逐個(gè)排成一列：.因?yàn)閷θ魏?，或是空集（?dāng)），或是（當(dāng)），所以（當(dāng)時(shí)，左端為0）.由于當(dāng)趨于時(shí)，.由此：，即，對任何點(diǎn)，無論多么大，總存在，使，因而，換言之，對任何，在中必有兩個(gè)子列，一個(gè)恒為1，另一個(gè)衡為零，所以序列（1）在上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.反過來，.例2 取，做函數(shù)列：1,2,….,.這說明不依測度收斂于1.盡管兩種收斂區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是下列定理反映出它們還是有密切聯(lián)系。定理1（） 設(shè)在上依測度收斂于，.證明 對任何正整數(shù),取，.由于，所以存在正整數(shù)，使,=1,2，…，….取. 由于 ，所以.顯然在上，（其實(shí)也是一致收斂的）.作，則在上，.以及.再由上限集定義，則對任何自然數(shù)有.因此.從而得到.定理2（勒貝格Lebesgue）設(shè)（1） ；（2） ；（3） ，則.證明 由葉果洛夫的證明，對任意.對任意，存在,則，于是，即在上依測度收斂于..要注意，這個(gè)條件是不能去掉的（見例2）.再結(jié)合例1，在條件下，.定理3 設(shè)，則在上幾乎處處成立.證明 由于，故對任何自然數(shù),從而.令，即得 .但是，故，.例3 設(shè)，：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得.證明 由于涉及可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)之間關(guān)系，由魯津定理，對任何正整數(shù)，存在的可測子集，使得，同時(shí)存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，有，由此可得.因此，即，由里斯定理存在的子列，使得，.第四章習(xí)題解答：在上為可測函數(shù)的充要條件是對任一有理數(shù)，集可測，如果集可測，問是否可測？證明： 若對任有理數(shù)，可測，則對任意實(shí)數(shù)，記是大于的一切有理數(shù)，則有，由可測得是可測的，所以是上的可測函數(shù).若對任有理數(shù)，可測，則不一定是可測得.例如，，則對任意有理數(shù)，.2. 設(shè)為上可測函數(shù)列，證明它的收斂點(diǎn)集和發(fā)散點(diǎn)集都是可測的.證明： 由167。1定理6，和都是上可測函數(shù). 顯然是收斂到的點(diǎn)所組成的集，..[0,1]中的不可測集，令問在[0,1]上是否可測？||是否可測？解： ，.當(dāng)時(shí)，是連續(xù)函數(shù)，所以在上是可測的.4. ，而 ，則對任意的存在常數(shù)c與可測集，, 證明： 由題意，都是零測集，令，，則任意，.因此，..，對任意，而.5. 設(shè)，證明對任意的，存在和M0，使得，且對任意證明： 由題意，根據(jù)魯津定理，對，在閉集上連續(xù)，在上有界 .對.6. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，上的可測函數(shù)，則是可測函數(shù).證明： 記由于在上連續(xù)，故對任意實(shí)數(shù)，其中是其構(gòu)成區(qū)間（可能是有限個(gè)，可能為，可能為）.因此，因?yàn)樵谏峡蓽y，因此都可測，故可測.7. 設(shè)函數(shù)列在有界集上“基本上”一致收斂于，.證明： 因?yàn)樯稀盎旧稀币恢率諗坑?，所以對任意，存在可測集，則對任意（因?yàn)樯鲜諗浚?