實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案-資料下載頁(yè)
2025-06-22 17:17本頁(yè)面
【正文】 ，試證明：. 證明：，因?yàn)?，所以，? 又因?yàn)?，由積分的絕對(duì)連續(xù)性（即，P103，定理4）. ,使得對(duì)于任何可測(cè)集，恒有. 對(duì)于，由，得，存在，時(shí)，有，從而. ，且，為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，試證: 在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂. 證：設(shè)，因?yàn)樵诳煞e，故.即，級(jí)數(shù)收斂. ,因?yàn)椋?，所? 從而，在上可積. ，證明：. 證明：（1）先證：，存在時(shí)直線上的連續(xù)函數(shù)，使得 .對(duì)于，記： . 則：. 則 + =. 因?yàn)樵谑强煞e的，故，使，時(shí)，恒有，又因?yàn)槭菃握{(diào)的集列，并且.從而，. 所以，對(duì)于，使得. 對(duì)于，取，由連續(xù)擴(kuò)張定理（第10頁(yè)，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得 （i） （ii） (iii) 則 ，從而. (2)再證： ，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以使得，時(shí)，恒有，++. 因?yàn)闀r(shí)，有，故.所以. 故. ，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得. 證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時(shí)，存在，使得，不妨設(shè). 先證：在上連續(xù)，，因?yàn)?，由積分的絕對(duì)連續(xù)性（P85，定理4），，有.故，因，故. 所以，. 同理，對(duì)于，在上連續(xù). 又因?yàn)椋ǜ鶕?jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），使得，有 . ，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，都有，試證. 11，試證：（i）. (ii) . 證明：（i）時(shí)，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：. 令，從而，且在是可積的，故在是可積的.，. (ii),定義，并且，.,有. 下面證明：，. 事實(shí)上，令，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，有，從而， . ，.. 因?yàn)樵谏峡煞e，由控制收斂定理，. ，試證明：在上當(dāng)且僅當(dāng). 證明：，（在上），所以， .故在上，. 又因?yàn)椋?，由有界收斂定理，? 對(duì)于，因. 故，..167。 積分極限定理 一．定理（非負(fù)可測(cè)函數(shù)序列的積分與極限可交換性） 二．控制收斂定理. 定理4（定理的絕對(duì)連續(xù)性定理）若在上可積，則，：，有. 證明：因?yàn)榭煞e，所以可積（只需證：，） ，.,.，使.`要找，使，有. 定理5（控制收斂定理）設(shè) （i），是上可測(cè)函數(shù)序列. (ii) 存在非負(fù)可積函數(shù)使得， . (iii) ,.則在上可積，并且.基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí) Th（P60，定理4） Th（P61，定理5） 存在子列 控制收斂定理的證明： 因?yàn)?，?Th，存在子列 .因此，.，所以 ，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.（1）先證：時(shí)，有.,記.則. 因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，使，有. 又因?yàn)椋?，時(shí)，. 即，. （2）再證：時(shí)，也有. ,因?yàn)?，所以，? 則. 因?yàn)椋ㄓ?的證明），所以，有.即，.從而， 推論（有界收斂定理）.設(shè) （i） （ii），（常數(shù)）且在上可測(cè) （iii） 則在上可積，且. 定理6. 在上可積在上的間斷點(diǎn)集是一個(gè)零測(cè)集. 三．定理. ，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇，如果，，恒有. 基本性質(zhì)：設(shè)是可測(cè)集，是上的一簇可積函數(shù)，則在上是積分等度絕對(duì)連續(xù)的，，恒有. 證明：，因?yàn)樵谏鲜欠e分等度絕對(duì)連續(xù)，所以，，有. 記，，. 直接的. 定理7.(定理).設(shè) （i）. （ii）是上積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇. （iii）. 則在上可積，且. 證明：先證：在上可積.(找一個(gè)可積函數(shù)，使得 （1）先證：，使得，恒有.事實(shí)上，取，由在上積分等度絕對(duì)連續(xù)性，使得，時(shí)， ，.記，則.因?yàn)椋?，恒有，則時(shí)，.所以.即（1）為真. 又因?yàn)椋啥ɡ?，有子列使?.不失一般性，設(shè)，于是， .令. (2)再證： ， 由基本定理（第82頁(yè)，定理2），有.從而在可積，又由 .在上可積. 最后證：. ,因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，：，則時(shí)，有，從而，. ，由定理，存在子列：.. . 若， ，則，即可積. 在可積. 47
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