實變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案(參考版)
2025-06-25 17:17本頁面
【正文】 積分極限定理 一．定理（非負(fù)可測函數(shù)序列的積分與極限可交換性） 二．控制收斂定理. 定理4（定理的絕對連續(xù)性定理）若在上可積，則，：，有. 證明：因為可積，所以可積（只需證：，） ，.,.，使.`要找，使，有. 定理5（控制收斂定理）設(shè) （i），是上可測函數(shù)序列. (ii) 存在非負(fù)可積函數(shù)使得， . (iii) ,.則在上可積，并且.基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí) Th（P60，定理4） Th（P61，定理5） 存在子列 控制收斂定理的證明： 因為，由 Th，存在子列 .因此，.，所以 ，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.（1）先證：時，有.,記.則. 因為在上可積，由積分的絕對連續(xù)性，使，有. 又因為，所以，時，. 即，. （2）再證：時，也有. ,因為，所以，有. 則. 因為（由1的證明），所以，有.即，.從而， 推論（有界收斂定理）.設(shè) （i） （ii），（常數(shù)）且在上可測 （iii） 則在上可積，且. 定理6. 在上可積在上的間斷點集是一個零測集. 三．定理. ，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對連續(xù)函數(shù)簇，如果，恒有. 基本性質(zhì)：設(shè)是可測集，是上的一簇可積函數(shù)，則在上是積分等度絕對連續(xù)的，恒有. 證明：，因為在上是積分等度絕對連續(xù)，所以，有. 記，. 直接的. 定理7.(定理).設(shè) （i）. （ii）是上積分等度絕對連續(xù)函數(shù)簇. （iii）. 則在上可積，且. 證明：先證：在上可積.(找一個可積函數(shù)，使得 （1）先證：，使得，恒有.事實上，取，由在上積分等度絕對連續(xù)性，使得，時， ，.記，則.因為， ，恒有，則時，.所以.即（1）為真. 又因為，由定理，有子列使， .不失一般性，設(shè)，于是， .令. (2)再證： ， 由基本定理（第82頁，定理2），有.從而在可積，又由 .在上可積. 最后證：. ,因為在上可積，由積分的絕對連續(xù)性，：，則時，有，從而，. ，由定理，存在子列：.. . 若， ，則，即可積. 在可積. 47。1定理6中條件是不可去掉的. 事實上，令，則是兩兩相交的可測集列，由習(xí)題一得15題：.故，但，.所以.從而. ，是中具有下述性質(zhì)的可測集列：，使，證明： 證：事實上，因為， ：對任意可測集，下式恒成立. . 證明：且故 .即 ，所以 故，從而 ，是中的兩個可測集且滿足，證明：. 證：.又因為所以 ，是中的兩個可測集，且，證明： 證：=. 所以又因為===+].所以= 因為.所以. ：存在開集，使 證明：設(shè)是閉區(qū)間的一切有理數(shù)，對于，令，并且是中開集.而，故. ，是中的零測集，證明：不可測. 證明：，.，這與不可測矛盾.故不可測. ，若閉集是否也是零測集. 解：不一定，例如： 是中的有理數(shù)的全體..,但. ：若是可測集，則，存在型集，型集，使， 證明：由P51的定理2，對于，存在型集，.則..即，.再由定理3， ：有界集可測當(dāng)且僅當(dāng)，存在開集，閉集，使得. 證明：，由已知，存在開集，閉集使得.令，則.，.所以，.即是零測集，可測.從而，可測 設(shè)是有界可測集 因為，存在開長方體序列，. 另一方面，由得有界性，. 由得有界可測性，= 令，則是一個閉集，并且由，有.因此，從而，存在開集，. 由的任意性知，.，位于軸上的任意集，因此，為零測集. ：若是單調(diào)增加集列（不一定可測）且，則 證明：，即，有界并且故，存在并且 下證：. 由于有界，可作一個開長方體，有，.,因為，為開長方體}.故，存在開長方體序列使得，且. 令，則為有界開集，且，. ，則由知， 是單調(diào)遞增的可測序列，由P46的定理4，.又由，.，即得.從而，. ：中的集類具有連續(xù)勢. 證明：為了敘述方便，我們僅以為例進(jìn)行證明： 用表示上的開區(qū)間，；表示所有閉集；和分別表示所有的型集，所有型集. 因為，又因為.. 又因為，. 故. 又定義：，, .即，.同理，. “差”運算可以化成“交”運算，例
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