實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案-在線瀏覽
2024-08-02 17:17本頁面
【正文】 Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個(gè)有界無窮點(diǎn)集，則）. 證明：設(shè)是中的有界無窮點(diǎn)集，如果，則，使得，有，從而===，這與為無窮集矛盾，從而. ，：有理數(shù)集不是型集，但是型集. 證明：，即，其中是開集，由開集的結(jié)構(gòu)，其中是互不相交的開區(qū)間. 不是一般性，設(shè)這是，必有 （1） 事實(shí)上，如果，即為有理數(shù)，.因?yàn)?，故，這與矛盾. (2), 如果，.，有.這有：這是一矛盾. (3) . 事實(shí)上，若，則為有限實(shí)數(shù)，使得，故，這也是一矛盾. 為可數(shù)集，這與矛盾. 因?yàn)樵谥袉吸c(diǎn)集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集. 30．定義在上的任何函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的集合是一個(gè)型集. .證明：開區(qū)間中有理點(diǎn)的全體不是一個(gè)型集，但是一個(gè)型集. ：在有理點(diǎn)處連續(xù)，而在無理點(diǎn)處都不連續(xù)？是證明你的結(jié)論. 回答：，只需證明如下命題 命題（*）：，如果存在上的函數(shù)，使得. 當(dāng)命題（*）成立時(shí)，必有為型集，這與題的結(jié)論矛盾. 命題（*）的證明： 設(shè)是開區(qū)間有定義的一實(shí)函數(shù)，記，下證：是一個(gè)型集. ，令且.，我們只需證：. 事實(shí)上，因?yàn)?，所以，使得，恒有，所以，恒有，故，所以即，反過來，. ，取，所以：，使得，并且有，取，故：，即，.，真. ，且對任意，存在的一個(gè)領(lǐng)域，使得最多只有可數(shù)個(gè)點(diǎn)，證明：必有有限級或可列集. 證明：因?yàn)?，使得是一個(gè)至多可數(shù)集，而 由24題，使得： . . (i) 是無處稠密集 (ii) 不包含任何非空開區(qū)間 (iii) 是無處稠密集（iv）的余集是稠密集 無處稠密集：，稱為是無處稠密的，如果，.證明：（i）(ii).設(shè)是無處稠密集，即，有.如果，取，故.(ii)真. （ii）(iii).如果不是無處稠密的，即，使得.這與不包含任何非區(qū)間矛盾. (iii)(iv).：. ,如果，則，所以，有.. (iv)(i).設(shè)，.，無處稠密. ：若集合的聚點(diǎn)不屬于，則是的邊界點(diǎn). 定義：稱為的邊界點(diǎn)，如果，有且. 證明：設(shè)，則，.且，即，是的界點(diǎn).第二章習(xí)題參考解答1：證明：有理數(shù)全體是中可測集，且測度為0.證：（1）先證單點(diǎn)集的測度為0.，令.,，因?yàn)?，為開區(qū)間.. （2）再證：中全體有理數(shù)全體測度為0. 設(shè)是中全體有理數(shù)，由可測的可加性有：. 法二：設(shè)，令，其中是預(yù)先給定的與無關(guān)的正常數(shù)，則：.由得任意性，. ：若是有界集，則.證明：，使，有，即，有，從而. 所以 ？ 解：，設(shè)，中有一個(gè)內(nèi)點(diǎn) .,使得.則所以. ，但又異于的閉集？ 解：不能 事實(shí)上，若，則可作，.，我們可記為新的，從而. 如果，即，而是開集，故是的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，由3題，.這與矛盾. 故不存在閉集且 167。（2），因有限，故使得 ，故，有，從而，.現(xiàn)在證：是兩兩不相交的開區(qū)間集不妨設(shè) ，如果，取則 即，這與矛盾，故A兩兩不相交，從而可數(shù)故至多可數(shù)。證明：，因?yàn)閤為E的內(nèi)點(diǎn)，使得：，現(xiàn)在證：事實(shí)上，取則，故，從而，即中每個(gè)點(diǎn)都是得內(nèi)點(diǎn)因此，為開集21．假設(shè)是[a,b]上唯一有限實(shí)函數(shù)，證明：它的第一類間斷點(diǎn)的全體是可數(shù)的。證明：因?yàn)?，所以如果，則，即，正交可數(shù)，從而，正交可數(shù).這與矛盾.故，,使.18．證明：[0,1]上的實(shí)函數(shù)全體具有勢證明：設(shè)，則 記[0，1]上全體是函數(shù)所構(gòu)成的集合為 對于，定義函數(shù) ,即是集合A的特征函數(shù)。15．設(shè)是兩兩不相交的集所組成的集列，證明：證明： 因?yàn)閧}兩兩不相交，所以，故另一方面，若，我們?nèi)t，當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)：（ 從而，這與矛盾，故從而16．若集A中每個(gè)元素由相互獨(dú)立的可列個(gè)指標(biāo)所決定，即A=，而每個(gè)指標(biāo)在一個(gè)勢為C的集中變化，則集A的勢為C。證明： 設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是不可數(shù)的。第一章習(xí)題參考解答第一章習(xí)題參考解答3．等式成立的的充要條件是什么？解： 若，則 .即，. 反過來, 假設(shè), 因?yàn)? 所以, . 故, .最后證，事實(shí)上，, 則且。若，則；若，則，故. 從而, . . 即 .反過來，若，則 因?yàn)樗?又因?yàn)椋怨?另一方面，且，如果則 ；如果因?yàn)?，所以? 則 . 從而于是，4．對于集合A，定義A的特征函數(shù)為， 假設(shè)
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