實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案-閱讀頁
2025-07-07 17:17本頁面
【正文】 是一集列 ，證明：（i）（ii）證明：（i），時(shí)，.所以，所以故，有有，故 ，即=0 ，從而5．設(shè)為集列， 證明 （i）互相正交 （ii） 證明：（i）；不妨設(shè)nm，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，?，從而 相互正交. （ii）因?yàn)?，有，所以，現(xiàn)在來證： 當(dāng)n=1時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，有： 則 事實(shí)上，則使得，令則 ，其中，當(dāng)時(shí)，從而， 6．設(shè)是定義于E上的實(shí)函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，使即 故 所以 故7．設(shè)是E上的實(shí)函數(shù)列，具有極限，證明對(duì)任意常數(shù)a都有：證明：，即，且因?yàn)?，使，有，?所以= ，由k的任意性：，反過來，對(duì)于，有 = ，即時(shí)，有：且，所以，且.，故 從而故 =8． 設(shè)是區(qū)間（a，b）上的單調(diào)遞增的序列，即若有極限函數(shù)，證明：，證明： ，即：且，因?yàn)樗裕阌校?，從而?反過來，使，故，因此，且,即，從而，10．證明：中坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)是不可數(shù)的?，F(xiàn)在證：可數(shù)，因?yàn)?是可數(shù)個(gè)有理數(shù)集的并，故可數(shù)，又因?yàn)椴⑶?，所以可?shù) 故可數(shù)14．證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明： 設(shè)Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則 為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因?yàn)?，所?，故A是Q上一切有限子集的全體。證明：設(shè)在勢(shì)為C的集合中變化，即A=因 是既單又滿的映射，定義 ,故得既單又滿的映射,從而，從而 17．設(shè)的勢(shì)是C，證明至少有一個(gè)的勢(shì)也是C。 另一方面，定義 則 ，則，所以 ，從而，20．證明：中孤立點(diǎn)集市有限或可數(shù)集證明：中，是的一些孤立點(diǎn)所構(gòu)成的集合由定義， ，則中任意二領(lǐng)域是不相交的事實(shí)上，若，有取，并且不失一般性設(shè)：，則.故 ，這推出，這與矛盾.，取一個(gè)有限點(diǎn)，則，當(dāng)，,所以，故 .E正交可數(shù).19．設(shè)稱為E的內(nèi)點(diǎn)集，證明：是開集。證明：[a,b]中右極限存在的間斷點(diǎn)是至多可數(shù)的.令有限}，作：,時(shí)，使得則：（1）上連續(xù)點(diǎn)的集合事實(shí)上，取因，故有即，在點(diǎn)連續(xù)。即，中第一類間斷點(diǎn)至多可數(shù)。1定理6中條件去掉，等式是否仍成立？ 解：167。在上可積. ，是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，試證明：. 證明：，因?yàn)?，所以，? 又因?yàn)椋煞e分的絕對(duì)連續(xù)性（即，P103，定理4）. ,使得對(duì)于任何可測(cè)集，恒有. 對(duì)于，由，得，存在，時(shí)，有，從而. ，且，為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，試證: 在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂. 證：設(shè)，因?yàn)樵诳煞e，故.即，級(jí)數(shù)收斂. ,因?yàn)?，又，所? 從而，在上可積. ，證明：. 證明：（1）先證：，存在時(shí)直線上的連續(xù)函數(shù)，使得 .對(duì)于，記： . 則：. 則 + =. 因?yàn)樵谑强煞e的，故，使，時(shí)，恒有，又因?yàn)槭菃握{(diào)的集列，并且.從而，. 所以，對(duì)于，使得. 對(duì)于，取，由連續(xù)擴(kuò)張定理（第10頁，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得 （i） （ii） (iii) 則 ，從而. (2)再證： ，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以使得，時(shí)，恒有，++. 因?yàn)闀r(shí)，有，故.所以. 故. ，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得. 證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時(shí)，存在，使得，不妨設(shè). 先證：在上連續(xù)，因?yàn)?，由積分的絕對(duì)連續(xù)性（P85，定理4），有.故，因，故. 所以，. 同理，對(duì)于，在上連續(xù). 又因?yàn)椋ǜ鶕?jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），使得，有 . ，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，都有，試證. 11，試證：（i）. (ii) . 證明：（i）時(shí)，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：. 令，從而，且在是可積的，故在是可積的.，. (ii),定義，并且，.,有. 下面證明：，. 事實(shí)上，令，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，有，從而， . ，.. 因?yàn)樵谏峡煞e，由控制收斂定理，. ，試證明：在上當(dāng)且僅當(dāng). 證明：，（在上），所以， .故在上，. 又因?yàn)?，且，由有界收斂定理，? 對(duì)于，因. 故，..16
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1