實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案(文件)
【正文】 可積，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，使，有. 又因?yàn)椋?，時(shí)，. 即，. （2）再證：時(shí)，也有. ,因?yàn)椋?，? 則. 因?yàn)椋ㄓ?的證明），所以，有.即，.從而， 推論（有界收斂定理）.設(shè) （i） （ii），（常數(shù)）且在上可測(cè) （iii） 則在上可積，且. 定理6. 在上可積在上的間斷點(diǎn)集是一個(gè)零測(cè)集. 三．定理. ，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇，如果，恒有. 基本性質(zhì)：設(shè)是可測(cè)集，是上的一簇可積函數(shù)，則在上是積分等度絕對(duì)連續(xù)的，恒有. 證明：，因?yàn)樵谏鲜欠e分等度絕對(duì)連續(xù)，所以，有. 記，. 直接的. 定理7.(定理).設(shè) （i）. （ii）是上積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇. （iii）. 則在上可積，且. 證明：先證：在上可積.(找一個(gè)可積函數(shù)，使得 （1）先證：，使得，恒有.事實(shí)上，取，由在上積分等度絕對(duì)連續(xù)性，使得，時(shí)， ，.記，則.因?yàn)椋?，恒有，則時(shí)，.所以.即（1）為真. 又因?yàn)?，由定理，有子列使?.不失一般性，設(shè)，于是， .令. (2)再證： ， 由基本定理（第82頁(yè)，定理2），有.從而在可積，又由 .在上可積. 最后證：. ,因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，：，則時(shí)，有，從而，. ，由定理，存在子列：.. . 若， ，則，即可積. 在可積. 47。1定理6中條件是不可去掉的. 事實(shí)上，令，則是兩兩相交的可測(cè)集列，由習(xí)題一得15題：.故，但，.所以.從而. ，是中具有下述性質(zhì)的可測(cè)集列：，使，證明： 證：事實(shí)上，因?yàn)椋?：對(duì)任意可測(cè)集，下式恒成立. . 證明：且故 .即 ，所以 故，從而 ，是中的兩個(gè)可測(cè)集且滿足，證明：. 證：.又因?yàn)樗?，是中的兩個(gè)可測(cè)集，且，證明： 證：=. 所以又因?yàn)?==+].所以= 因?yàn)?所以. ：存在開集，使 證明：設(shè)是閉區(qū)間的一切有理數(shù)，對(duì)于，令，并且是中開集.而，故. ，是中的零測(cè)集，證明：不可測(cè). 證明：，.，這與不可測(cè)矛盾.故不可測(cè). ，若閉集是否也是零測(cè)集. 解：不一定，例如： 是中的有理數(shù)的全體..,但. ：若是可測(cè)集，則，存在型集，型集，使， 證明：由P51的定理2，對(duì)于，存在型集，.則..即，.再由定理3， ：有界集可測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)，存在開集，閉集，使得. 證明：，由已知，存在開集，閉集使得.令，則.，.所以，.即是零測(cè)集，可測(cè).從而，可測(cè) 設(shè)是有界可測(cè)集 因?yàn)?，存在開長(zhǎng)方體序列，. 另一方面，由得有界性，. 由得有界可測(cè)性，= 令，則是一個(gè)閉集，并且由，有.因此，從而，存在開集，. 由的任意性知，.，位于軸上的任意集，因此，為零測(cè)集. ：若是單調(diào)增加集列（不一定可測(cè)）且，則 證明：，即，有界并且故，存在并且 下證：. 由于有界，可作一個(gè)開長(zhǎng)方體，有，.,因?yàn)?，為開長(zhǎng)方體}.故，存在開長(zhǎng)方體序列使得，且. 令，則為有界開集，且，. ，則由知， 是單調(diào)遞增的可測(cè)序列，由P46的定理4，.又由，.，即得.從而，. ：中的集類具有連續(xù)勢(shì). 證明：為了敘述方便，我們僅以為例進(jìn)行證明： 用表示上的開區(qū)間，；表示所有閉集；和分別表示所有的型集，所有型集. 因?yàn)?，又因?yàn)?. 又因?yàn)椋? 故. 又定義：，, .即，.同理，. “差”運(yùn)算可以化成“交”運(yùn)算，例如： .因此，中的每個(gè)元都是中可數(shù)元的并，. 從而，.即，上集的全體的勢(shì)為. ，都可找到完備集，使得. ：只要，就一定可以找到，使對(duì)，有. 證明：設(shè)，.首先將劃分成可數(shù)邊長(zhǎng)為的左開右閉的維長(zhǎng)方體.，. 因，其中，又由，.故，所以，有. 這樣下去得一個(gè)單調(diào)遞減的可測(cè)集列 ，其中：，.記，故閉集列單調(diào)遞減且，.由閉集套定理，. 對(duì)于，因，取，故. ，：也可測(cè)，且. 證明：（1）先證： 因?yàn)椋瑸殚_長(zhǎng)方體，對(duì)于開長(zhǎng)方體序列，若，則，也是開長(zhǎng)方體序列，且=.，為開長(zhǎng)方體. 另一方面，因?yàn)?，?.由得任意性，知.從而 （2）再證：可測(cè) 事實(shí)上，由得可測(cè)性，.故，.. 因此，
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