實(shí)變函數(shù)第一章答案(文件)
【正文】 ：單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集．證明 不妨設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，則在間斷當(dāng)且僅當(dāng).于是，每個(gè)間斷點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)開區(qū)間.下面證明：若為的兩個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，則有.事實(shí)上，任取一點(diǎn)，使，于是，從而對應(yīng)的開區(qū)間與對應(yīng)的開區(qū)間不相交，即不同的不連續(xù)點(diǎn)對應(yīng)的開區(qū)間互不相交，又因?yàn)橹本€上互不相交的開區(qū)間所構(gòu)成的集合至多是可數(shù)集，所以可知單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集.7．證明：若存在某正數(shù)使得平面點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)之間的距離都大于，則至多是可數(shù)集．證明 定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤. 顯然當(dāng)時(shí)，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.1．直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答 直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是. 這是因?yàn)椋簽閱紊洌鵀闈M射，所以. 區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因?yàn)椋?2．用表示上的一切連續(xù)實(shí)值函數(shù)之集，證明：(1) 設(shè)，則；(2) 公式定義了單射；(3) ．證明 (1) 必要性. 顯然.充分性. 假設(shè)成立. 因?yàn)?，存在有理?shù)列，使得，由，可得及.又因?yàn)闉橛欣睃c(diǎn)列，所以有，故，都有.(2) ，設(shè)，即.由(1)知：. 故為單射. (3) 由(2)知：；又由，可得. 故.3．設(shè)為閉區(qū)間上的一切實(shí)值函數(shù)之集，證明：(1) 定義了一個(gè)單射；(2) ，定義了單射；(3) 的基數(shù)是．證明 (1) ，設(shè)，即.從而，故為單射. (2) ，設(shè)，則，故為單射. (3) 由(1)知：；又由(
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