復(fù)變函數(shù)與積分變換課后習(xí)題答案詳解-閱讀頁
2025-07-10 20:03本頁面
【正文】 羅朗級(jí)數(shù)，得而 =3在內(nèi)，,故(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為而=3在內(nèi)，,故習(xí)題五1. 求下列函數(shù)的留數(shù)．(1)在z=0處．解：在0|z|+∞的羅朗展開式為∴(2)在z=1處．解：在0| +∞的羅朗展開式為∴．2. 利用各種方法計(jì)算f(z)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．(1)解：的有限孤立奇點(diǎn)處有z=0，z=2．其中z=0為二級(jí)極點(diǎn)z=2為一級(jí)極點(diǎn)．∴ 3. 利用羅朗展開式求函數(shù)在∞處的留數(shù)．解： ∴從而5. 計(jì)算下列積分．(1)，n為正整數(shù)，c為|z|=n取正向．解：．為在c內(nèi)tanπz有 (k=0,177。2…177。ai分別為R(z)的二級(jí)極點(diǎn)故(5) ，β0，b0．解：而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)．從而(6) ，a0解：令，在上半平面有z=ai一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)7. 計(jì)算下列積分(1)解：令，則R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)z=0，作以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,[R, r], Cr,[r, R]構(gòu)成封閉曲線，此時(shí)閉曲線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)i,于是：而．故：．(2)，其中T為直線Rez=c, c0, 0a1解：在直線z=c+iy (∞ y +∞)上，令，收斂，所以積分是存在的，并且其中AB為復(fù)平面從ciR到c+iR的線段．考慮函數(shù)f(z)沿長方形R≤x≤c，R≤y≤R周界的積分．＜如下圖＞因?yàn)閒(z)在其內(nèi)僅有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)z=0，而且所以由留數(shù)定理．而．習(xí)題六1. 求映射下，下列曲線的像.(1) (，為實(shí)數(shù))解： , 所以將映成直線.(2) (k為實(shí)數(shù))解： 故將映成直線.2. 下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？ （1）；解： 所以.故將映成.(2) Re(z)0. 0Im(z)1, .解：設(shè)z=x+iy, x0, 0y1. Re(w)0. Im(w)0. 若w=u+iv, 則因?yàn)?y1,則故將Re(z)0, 0Im(z)Re(w)0,Im(w)0, (以（,0）為圓心、為半徑的圓)3. 求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問w=z2將經(jīng)過點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個(gè)方向？并作圖.解：因?yàn)?2z,所以(i)=2i, ||=2, 旋轉(zhuǎn)角arg=.于是, 經(jīng)過點(diǎn)i且平行實(shí)軸正向的向量映成w平面上過點(diǎn)1，. → 4. 一個(gè)解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點(diǎn)都具有這個(gè)性質(zhì)嗎？答：一個(gè)解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導(dǎo)數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個(gè)性質(zhì).5. 求將區(qū)域0x1變?yōu)楸旧淼恼w線性質(zhì)變換的一般形式.6. 試求所有使點(diǎn)不動(dòng)的分式線性變換.解：設(shè)所求分式線性變換為(adbc0) 因?yàn)?即,由代入上式，得.因此令，得其中a為復(fù)數(shù). 反之也成立，故所求分式線性映射為， a為復(fù)數(shù). 7. 若分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？解：若將圓周|z|=1映成直線，則映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數(shù)應(yīng)滿足adbc0,且|c|=|d|.8. 試確定映射，作用下，下列集合的像.(1) 。 (3) Im(z)0.解：(1) Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數(shù)方程為， , .消去y得，像曲線方程為單位圓,即u2+v2=1.(2) |z|=，. 消去得， (3) 當(dāng)Im(z)0時(shí)，即,令w=u+iv得.即v0,故Im(z)0的像為Im(w)0.9. 求出一個(gè)將右半平面Re(z)0映射成單位圓|w|1的分式線性變換.解：設(shè)映射將右半平面z0映射成w=0，則z0關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的像為， 所以所求分式線性變換形式為其中k為常數(shù).又因?yàn)?而虛軸上的點(diǎn)z對(duì)應(yīng)|w|=1,不妨設(shè)z=0，則故.10. 映射將映射成,實(shí)數(shù)的幾何意義顯什么？解：因?yàn)閺亩怨时硎驹趩挝粓A內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角.11. 求將上半平面Im(z)0,映射成|w|1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件(1) f(i)=0, =0。(2) 帶形區(qū)域。 =所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有.其中 ，.解:.解: 解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5) 解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則.(t)是解析函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，有 對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書上有推理過程) 的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出 故：解:(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明F當(dāng)a0時(shí),令u=當(dāng)a0時(shí),令u=at,則.故原命題成立..證明：，證明：以及證明：同理：計(jì)算.解：當(dāng)時(shí)，若則故=0.若則若則故，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八.(1)， (2)， (3)(4)， (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) .（1） (2)解: (1) (2) ,其中函數(shù)為階躍函數(shù), 求的拉普拉斯變換.解: 解：5. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)，對(duì)常數(shù)，若，證明證明: 7 記，證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立
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