【正文】 解：只需化為實(shí)參數(shù)方程即可。9．寫出過兩點(diǎn)的直線的復(fù)參數(shù)方程。解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有， 在上面兩個(gè)不等式都取等號時(shí)達(dá)到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此， 8．試用來表述使這三個(gè)點(diǎn)共線的條件。（5）若，則有證明：， ，因?yàn)?，所以? ，因而，即，結(jié)論得證。結(jié)論得證。（3）若是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，那么也是它的一個(gè)根。習(xí)題一答案1． 求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：（1） （2） （3） （4）解：（1）， 因此：，（2），因此，（3），因此，（4）因此，2． 將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：（1） （2） （3）（4） （5）解：（1）（2）（3） （4）（5）3． 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4． 設(shè)試用三角形式表示與解：，所以，5． 解下列方程：（1） （2）解：（1） 由此， （2），當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的4個(gè)根分別為：6． 證明下列各題：（1）設(shè)則證明：首先，顯然有； 其次，因 固此有 從而 。（2）對任意復(fù)數(shù)有證明：驗(yàn)證即可，首先左端，而右端 ， 由此，左端=右端，即原式成立。證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，由此得到：由此說明：若為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個(gè)根，則也是。（4）若則皆有證明：根據(jù)已知條件，有，因此： ，證畢。7．設(shè)試寫出使達(dá)到最大的的表達(dá)式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。解：要使三點(diǎn)共線，那么用向量表示時(shí)，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到： 三個(gè)點(diǎn)共線的條件是為實(shí)數(shù)。解：過兩點(diǎn)的直線的實(shí)參數(shù)方程為： ，因而，復(fù)參數(shù)方程為： 其中為實(shí)參數(shù)。（1），因而表示直線（2），因而表示橢圓（3），因而表示雙曲線11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為 ，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)證明：圓周的實(shí)方程可表示為：，代入，并注意到，由此 ，整理，得 記，則，由此得到 ，結(jié)論得證。證明：首先，在原點(diǎn)無定義，因而不連續(xù)。13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得 ，因而映成的像曲線的方程為 ，消去參數(shù)，得 即表示一個(gè)圓周。14．指出下列各題中點(diǎn)的軌跡或所表示的點(diǎn)集，并做圖：解：（1），說明動點(diǎn)到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。（3）說明動點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個(gè)橢圓。（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點(diǎn)的與軸正向夾角為的射線。（1），以原點(diǎn)為心，內(nèi)、外圓半徑分別為3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通（2），頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通（3），顯然，并且原不等式等價(jià)于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3 ，是一無界，多連通區(qū)域。（5），代入，化為實(shí)不等式，得 所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。（1） （2） （3） （4）解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時(shí)分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點(diǎn)為，即， （4）的奇點(diǎn)為， 2． 判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。（2）， 四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：， 因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)， ， 因可導(dǎo)點(diǎn)集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。3． 當(dāng)取何值時(shí)在復(fù)平面上處處解析？解：，由柯西—黎曼方程得： 由（1）得 ，由（2）得，因而，最終有 4． 證明：若解析，則有 證明：由柯西—黎曼方程知，左端 右端，證畢。（1）在D內(nèi)解析 ， （2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)， （4） （5）證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0?。?），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得 （1）而由的解析性，又有 （2）由（1）、（2）知，因此即 為常數(shù)（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得 ， 說明與無關(guān)，因而 ，從而為常數(shù)。（4）同理，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得 再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有 （5）同前面一樣，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得 考慮到柯西—黎曼方程，仍有 ，證畢。 顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時(shí)的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。綜上所述，左右兩個(gè)集合中的元素相互對應(yīng)，即二者相等。 同理可證第二式子也成立。 其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性方法可以證明時(shí)，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。15． 已知平面流場的復(fù)勢為（1） （2） （3）試求流動的速度及流線和等勢線方程。解：在上，=1，因而由積分估計(jì)式得 的弧長6． 用積分估計(jì)式證明：若在整個(gè)復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時(shí) 其中為圓心在原點(diǎn)半徑為的正向圓周。7． 通過分析被積函數(shù)的奇點(diǎn)分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。8． 計(jì)算下列積分：（1） （2） （3）解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：（1）（2）（3）9． 計(jì)算 ，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。 （3） 在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個(gè)奇點(diǎn)1，故此