【正文】 因函數(shù)的定義域?yàn)?，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。（2）左端 右端 其中為任意整數(shù)，而 不難看出，對(duì)于左端任意的，右端取或時(shí)與其對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于右端任意的，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，左端可取于其對(duì)應(yīng)，而當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，左端可取于其對(duì)應(yīng)。解：只需注意，若記，則 流場(chǎng)的流速為， 流線為， 等勢(shì)線為， 因此，有（1）流速為，流線為，等勢(shì)線為 （2）流速為，流線為，等勢(shì)線為 （3） 流速為，流線為 ，等勢(shì)線為 習(xí)題三答案1． 計(jì)算積分，其中為從原點(diǎn)到的直線段解：積分曲線的方程為，即 ，代入原積分表達(dá)式中，得 2． 計(jì)算積分，其中為（1）從0到1再到的折線 （2）從0到的直線解：（1）從0到1的線段方程為：， 從1到的線段方程為：，代入積分表達(dá)式中，得；（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達(dá)式中，得 ，對(duì)上述積分應(yīng)用分步積分法，得3． 積分，其中為（1）沿從0到 （2）沿從0到 解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達(dá)式中，得（2）積分曲線的方程為 ， ，代入積分表達(dá)式中，得 4． 計(jì)算積分，其中為（1）從1到+1的直線段 （2）從1到+1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得 （2）的方程為，代入，得 5． 估計(jì)積分的模,其中為+1到1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周。12． 積分的值是什么？并由此證明解：首先，由柯西基本定理，因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分曲線外。解：由調(diào)和函數(shù)的定義 ，因此要使為某個(gè)區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須 ，即。習(xí)題四答案1． 考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．（1）解：因?yàn)椴淮嬖冢圆淮嬖?，?shù)列不收斂．（2）解：，其中，則．因?yàn)椋?，?shù)列收斂，極限為0．（3）解：因?yàn)?，所以，?shù)列收斂，極限為0．（4）解：設(shè)，則，因?yàn)椋疾淮嬖?，所以不存在，?shù)列不收斂．2． 下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂?(1)解：，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．(2) 解：，因?yàn)槭墙诲e(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級(jí)數(shù)收斂，同樣可知， 也收斂，故級(jí)數(shù)是收斂的．又，因?yàn)榘l(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)條件收斂．(3) 解：，因級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．(4) 解：，由正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法知該級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂．3． 試確定下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(1) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(2) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(3) 解：，故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．(4) 解：令，則，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，即，從而冪?jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋諗堪霃綖椋?． 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．證明：在點(diǎn)處，因?yàn)槭諗浚允諗?，故由阿貝爾定理知，時(shí)，收斂，且為絕對(duì)收斂，即收斂．時(shí)，因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，的收斂半徑也為1．5． 如果級(jí)數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對(duì)收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對(duì)收斂．證明：時(shí)，由阿貝爾定理，絕對(duì)收斂． 時(shí)，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對(duì)收斂．6． 將下列函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．（1）解：由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．，可以得到．將上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所要求的展開(kāi)式=．（2）解：①時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．===．②時(shí)，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．==．（3）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．．（4）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．（5）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)． =．（6）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)可以展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)．= ==．7． 求下列函數(shù)展開(kāi)在指定點(diǎn)處的泰勒展式，并寫(xiě)出展式成立的區(qū)域．（1）解： ，．由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，所以這兩個(gè)展開(kāi)式在內(nèi)處處成立．所以有：．（2）解：由于所以．（3）解： =．展開(kāi)式成立的區(qū)域：，即（4）解：，……，……，故有因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，所以這個(gè)等式在的范圍內(nèi)處處成立。 。于是所以（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，且為1 級(jí)極點(diǎn)。 又當(dāng)時(shí)，有 所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個(gè)。證明：令。又 所以 從而 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，總結(jié)上述，得 。令，則 故由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故3. 利用拉氏變換的性質(zhì)計(jì)算下列各式： (1) 求解：因?yàn)樗杂衫献儞Q的位移性質(zhì)知： (2) 求解：設(shè) 則由拉氏變換的積分性質(zhì)知：再由微分性質(zhì)得：所以 4. 利用拉氏變換的性質(zhì)求 (1) 解：法一：利用卷積求解。 除此外處處解析，且當(dāng)時(shí)， ： 下面來(lái)求留數(shù)。：(6) 解：設(shè) 顯然 查表知 故由卷積定理得：(7) 解：設(shè) 則 因?yàn)?所以 故 (8) 解：，因?yàn)?所以 即：8. 求下列函數(shù)的拉氏逆變換：(1) 解：由拉氏變換表知：所以 (2) 解：而 所以 (3) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 由卷積定理知，所以 (4) 解：設(shè) 則 設(shè) 則 故 所以 (5) 解：因?yàn)?故由卷積定理知：又因?yàn)? 所以 (6) 解：由拉氏變換表知：所以 9. 求下列卷積： (1) 解：`因?yàn)? 所以 (2) （m, n為正整數(shù)）； 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解：因?yàn)?當(dāng)時(shí)，故當(dāng) 時(shí)，即 (6) 解：設(shè) 則 所以當(dāng) 即 時(shí)，上式為0.當(dāng) 即 時(shí)，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：10. 利用卷積定理證明下列等式： (1) 證明：因?yàn)?故由卷積定理：也即 ，證畢。顯然在 內(nèi)有兩個(gè)2級(jí)極點(diǎn)。 習(xí)題八1． 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的定義知：(2) 解：由拉氏變換的定義以及單位脈動(dòng)函數(shù)的篩選性質(zhì)知：2. 求下列函數(shù)的拉氏變換：(1) 解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：(2) 解：由拉氏變換的線性性