【正文】 示。集合可分為兩類有限集合和無限集合，空集與只含有有限多個元素的集合稱為有限集，其余的稱為無限集。(2) 滿射:對任意,存在,使得.則稱A和B對等,記為,規(guī)定.例1 我們可給出有限集合的一個不依賴與于元素個數(shù)概念的定義:集合A稱為有限合,如果或者A和正整數(shù)的某截斷對等。例2{正奇數(shù)全體}{正偶數(shù)全體}.事實(shí)上,只要令即可.例3{正整數(shù)全體}{正偶數(shù)全體}.這只需令,x是正整數(shù).例4 區(qū)間和全體實(shí)數(shù)對等,只需對每個,令。值得注意的是，若將此展開為線段時，則這兩線段的長度并不相同。例4還表明，無限長的“線段”也不比有限長的線段有“更多的點(diǎn)”。這一性質(zhì)對有限集來說顯然不能成立。對等關(guān)系顯然有一下性質(zhì)：定理1 對任意集合A,B,C,均有： （1）（反射性） 。 (3) (傳遞性).定義3 若A和B對等，則稱他們有相同的基數(shù)，記為.定義4 設(shè)A,B是兩個集合，如果A不與B對等，但存在B的真子集,有,則稱A比B有較小的基數(shù)（或稱B比A有較大的基數(shù)）并記為.自然，我們要提出問題：任給兩個集合A,B，在中是否必有一個成立且只有一個成立呢?回答是肯定的，但是在第一個問題的論證較為復(fù)雜，不能再此討論。定理2 【伯恩施坦（Bernstein）定理】 設(shè)A,B是兩個非空集合。因?yàn)?，即：當(dāng)時。因?yàn)槭茿的子集，是的子集，所以并且.（） 伯恩斯坦定理證明示意圖照這樣進(jìn)行下去，我們找到一列子集：。作為定理的應(yīng)用，我們可證明如下結(jié)論。（目的：只需證,B與C的子集對等，C與B的子集對等。4 可數(shù)集合在本節(jié)中我們將詳細(xì)地討論無限集合中最簡單同時也是最常見的一類集合，即其元素能夠排成一列的集合.非空有限集合既然是那些和正整數(shù)列某一截斷對等的集合，那么，在無限集合中首先受到關(guān)注的當(dāng)然是那些和全體正整數(shù)所成集合對等的集合了（正整數(shù)列本身就是這種集合）.定義1 凡和全體正整數(shù)所成集合對等的集合都稱為可數(shù)集合或可列集合.由于可按大小順序排成一無窮序列：因此，一個集合是可數(shù)集合的充要條件為：可以排成一個無窮序列：可數(shù)集合是無窮集合，那么它在一般無限集合中處于什么地位呢？定理1 任何無限集合都至少包含一個可數(shù)子集.證明 設(shè)是一個無限集，因，總可以從中取一元素記為，由于是無限集，故，于是又可以從中取一元素，記為，顯然且，設(shè)已從中取出個這樣的元素，由于是無限集，故，于是又可以從中取一元素，記為，顯然且和都不相同，這樣由歸納法，我們就找到的一個無限子集，它顯然是一個可數(shù)集.該定理說明可數(shù)集的一個特征：它在所有無限集中有最小的基數(shù).下面的定理告訴我們可數(shù)集有怎樣的子集.定理2 可數(shù)集合的任何無限子集比為可數(shù)集合，從而可數(shù)集合的任何子集或者是有限集或者是可數(shù)集.證明 設(shè)為可數(shù)集而是的一個無限子集，則由于是的子集，有，有由于是無限集合，而是可數(shù)集，依定理1有，因此按伯恩斯坦定理就有，即也是可數(shù)集.下面我們來研究有可數(shù)集出發(fā)通過加法運(yùn)算可產(chǎn)生什么樣的集合.定理3 設(shè)可數(shù)集，為有限或可數(shù)集，則為可數(shù)集（利用可排性）證明 ⑴先設(shè).由于可數(shù)集總可排成無窮序列，不妨設(shè)，（當(dāng)有限時）或（當(dāng)可數(shù)時）.由于當(dāng)有限時（排在前，排在后），；又當(dāng)可數(shù)時（交錯排列），.可見總可以排成無窮序列，從而是可數(shù)集.⑵一般情形下.此時，令，則，但當(dāng)作為的子集仍為有限或可數(shù)集（定理2），這樣就歸結(jié)到⑴的情形了. 推論 設(shè)是有限集或可數(shù)集，則也是有限集或可數(shù)集，但如果至少有一個是可數(shù)集，則必為可數(shù)集.定理4 設(shè)都是可數(shù)集，則也是可數(shù)集.證明 ⑴先設(shè).因都是可數(shù)集，故可令 ， ， ， ，…………按照箭頭順序可將排成：.因此，是可數(shù)集.注意，上面的證明當(dāng)部分（不是全部）是有限集時仍可適用.⑵一般情形下.令 ， （），則（當(dāng)時），且.易知都是有理數(shù)集或可數(shù)集（定理2），如果只有有限個不為空集，則由定理3的推論，為可數(shù)集（因至少為可數(shù)集），如果有無限多個（必為可數(shù)個）不為空集，則由⑴中的注意，也是可數(shù)集，故在任何情形下，也是可數(shù)集. 今后我們用（或）表示可數(shù)集的基數(shù)，則當(dāng)均為可數(shù)集合時，定理3的推論可簡記為（定理3）而本定理的結(jié)論就可簡記為（定理4）定理5 有理數(shù)全體成一可數(shù)集合.證明 設(shè)（），則是可數(shù)集，于是由定理4知全體正有理數(shù)成一可數(shù)集，因正負(fù)有理數(shù)通過，成為一一對應(yīng)，故全體負(fù)有理數(shù)成一可數(shù)集，但有理數(shù)全體所成之集合，故由定理3的推論知為可數(shù)集.應(yīng)該注意，有理數(shù)在實(shí)數(shù)中是處處稠密的，即在數(shù)軸上任何小區(qū)間中都有有理數(shù)存在（并且有無窮多個）.盡管如此，正是康托爾創(chuàng)立集合論，向“無限”進(jìn)軍的一個重要成果，它是人類理性思維的有一個勝利.用有理數(shù)集的可數(shù)性和稠密性可推斷出一些重要的結(jié)論.例1 設(shè)集合中元素都是直線上的開區(qū)間，滿足條件：若開區(qū)間，.證明 作映射：.設(shè)，由于在直線上稠密，任取，有，因此是到內(nèi)的單射，于是～，所以，即是可數(shù)集或有限集.定理6 設(shè)是可數(shù)集，則是可數(shù)集.證明 ，：若是可數(shù)集，則，由定理4，是可數(shù)集.例2 平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體所成的集合為一可數(shù)集.例3 元素是由個正整數(shù)組成的，其全體成一可數(shù)集.例4 整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是一可數(shù)集.證明 對任意的，設(shè)是次整系數(shù)多項(xiàng)式的全體組成的集合，則～，其中和都是可數(shù)集，因此由定理6，.每個多項(xiàng)式只有有限個根，所以得下面的定理.定理7 代數(shù)數(shù)的全體成一可數(shù)集.（所謂代數(shù)數(shù)，乃是整系數(shù)多項(xiàng)式的根.）167。下面我們將看到事實(shí)并非如此。定理1 全體實(shí)數(shù)所成的集合是一個不可數(shù)集合。3例4知，我們只要證明不是可數(shù)集就好了。反之，每一個上述形式的無窮小數(shù)都是中某一實(shí)數(shù)的正規(guī)表示。為此利用對角線上的數(shù)字 作一個無窮小數(shù)如下則此無窮小數(shù)的各位數(shù)字既不全是9，也不以0為循環(huán)節(jié)，因此必是中某一實(shí)數(shù)a的正規(guī)表示，但從這個無窮小數(shù)的作法可知，它與每一個的正規(guī)表示都不同（因?yàn)橹辽俚趎位小數(shù)不同），因此,從而與假設(shè)矛盾。 推論1 若用c表示全體實(shí)數(shù)所成績和R的基數(shù)，用a表示全體正整數(shù)所成的集合的基數(shù)，則。定理2 任意區(qū)間, ，,，均具有連續(xù)基數(shù)（這里）。 定理4 設(shè)若有一列集合{},而.證明 由于，不妨設(shè)首先把中任何與x與A中點(diǎn) 對應(yīng)，就知道（對等與A的一個子集。又稱為點(diǎn)的第i個坐標(biāo).定理5 n維歐幾里得空間的級數(shù)為證明：若中點(diǎn)對應(yīng)于中點(diǎn)時， 推論2 設(shè)有個(表示連續(xù)基數(shù))集的并集，若每個集的基數(shù)都是,則其并集的基數(shù)也是。推論3設(shè)若有一列集合證明：由于，因此,其中任取用正規(guī)的二進(jìn)位小數(shù)表示，即定義，顯然是單射，于是 由伯恩斯坦定理，定理定理5和推論3分別可簡寫成由定理4，實(shí)數(shù)列的全體組成的集合基數(shù)仍為，自然產(chǎn)生了新的問題，有沒有基數(shù)大于的集合呢？有沒有最大的基數(shù)呢？下面的定理圓滿的回答了這個問題。證明：我們先證明不能與對等?，F(xiàn)在我們將中所有那樣的，滿足，作成一集合,則，所以，從而應(yīng)有中元素與之對應(yīng)。因是由那些的作成的，可見。這就產(chǎn)生了矛盾，因而不對等于。w 定理6告訴我們沒有一個最大的基數(shù)，從而無線集合的不同基數(shù)也有無線多個。這一點(diǎn)，在第三章測度論中有十分重要的應(yīng)用。2例12中的（1）（2）式 和分別可寫成和 由此，我們再次看到函數(shù)列的極限過程，怎樣用集合運(yùn)算來描述，這在以后的各章中都有重要應(yīng)用。1 度量空間，維歐式空間讓我們回憶數(shù)學(xué)分析中的極限概念，在定義數(shù)列的極限時，那么所謂中數(shù)列收斂于，就意味著和之間的距離隨而趨近于，即這使我們想到，在一般的點(diǎn)集中如果也有“距離”，那么在點(diǎn)集中也可借這一距離定義極限，究竟什么是距離呢？設(shè)是一個集合，若對于中任意兩個元素，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：的充要條件為；對任意都成立，則稱是之間的距離，稱為度量空間或距離空間. 中的元素稱為點(diǎn)，條件稱為三點(diǎn)不等式.距離有對稱性，在三點(diǎn)不等式中取，并由條件知 由和的次序是任意的，故同樣可證，這就得到.如果是度量空間，是的一個非空子集，則也是一個度量空間，稱為的子空間.下面我們只討論歐式空間，對于其他度量空間的例子將在第七章給出.對于中任意兩點(diǎn) 規(guī)定距離，.由柯西（Cauchy）不等式得到令 ，則代入上面不等式即為三點(diǎn)不等式.稱為維歐氏空間，其中稱為歐幾里得距離.此外，在中還可以用下面方法定義其他距離：容易驗(yàn)證，在一個集合中引入距離的方法可以不限于一種.下面我們將考察中的極限、開集、閉集、緊集等一系列概念，它們的基礎(chǔ)都是鄰域，而鄰域則依靠距離 .我們從定義鄰域的概念開始.定義1 中所有和定點(diǎn)之距離小于定數(shù)的點(diǎn)的全體，即集合稱為點(diǎn)之鄰域,稱為鄰域的中心,，也干脆說是的一個鄰域，在中的，就是以為中心為半徑的開區(qū)間，開圓和開球.容易證明鄰域具有下面的基本性質(zhì)：(1) ；(2)對于和，存在；(3)對于，存在；(4)對于，存在和，使.定義2 設(shè)為中一點(diǎn)列，若果當(dāng)時有，：對于的任一鄰域，存在某個自然數(shù)，使當(dāng)時，.定義3 兩個非空的點(diǎn)集的距離定義為定義4 一個非空點(diǎn)集的直徑為 定義5 設(shè)為中一點(diǎn)集，如果，則稱為有界點(diǎn)集（空集也成為有界點(diǎn)集）.顯然，為有界點(diǎn)集的充要條件是存在常數(shù)，使對于所有的，都有即存在常數(shù)，對于所有有，這里，稱為維空間的原點(diǎn).定義6 點(diǎn)集稱為一個開區(qū)間（維），如將其中不等式一律換成（或），則稱之為一個閉區(qū)間（或左開右閉區(qū)間）.當(dāng)上述各種區(qū)間無區(qū)別的必要時，統(tǒng)稱為區(qū)間，“邊長”， 稱為的“體積”，記為.167。3 開集，閉集，完備集本節(jié)著重討論兩類特殊點(diǎn)集。例如整個空間是閉集，空集是閉集。（沒有聚點(diǎn)）。2 定理3，從而是閉集.定理2 （開集與閉集的對偶性） 設(shè)是開集，則是閉集；設(shè)是閉集，則是開集。這樣，就不可能是的內(nèi)點(diǎn)，從而不屬于（因 是開集），也就是（2）要證是開集，即要證中的每一點(diǎn)均為 中的內(nèi)點(diǎn)（反證）設(shè)是閉集，對任一，假如不是的內(nèi)點(diǎn)，則 的任一鄰域內(nèi)至少有一個屬于的點(diǎn)，而且這點(diǎn)又必異于 ，這樣 就是的聚點(diǎn)（167。也就是說，如果定義了開集，閉集也就隨之確定。為開集，由167。）， 每個是開集，但不是開集,定理4 任意多個閉集之交仍為閉集，有限多個閉集之并仍為閉集. (閉集的任意交，有限并仍為閉集)證明 （利用德摩根公式）設(shè)（或1,2，）則 是閉集，而不是閉集例 ，存在兩個互不相交的開集，,使.證明 （1）對任何 ，有 。定理5（海涅—博雷爾有限覆蓋定理） 設(shè)是一個有界閉集，是一族開集 ，它覆蓋了（即）則中一定存在有限多個開集 仍然覆蓋了，則由 , 覆蓋了 ，定理得證；否則從這m個開集中去掉，因?yàn)榕c不相交，所以剩下的 m1個開集仍然覆蓋了.定義3 設(shè)是度量空間中一集合，是中任一族覆蓋了 的開集，如果必可從中選出有限個開集仍然覆蓋, 則稱為中的緊集.由定理5知 中的有界閉集必為緊集，反之我們有如下定理.定理6 設(shè)是中的緊集，則是中的有界閉集證明 設(shè)點(diǎn),對于中的任意一點(diǎn),由于 ，由鄰域性質(zhì)，存在，使得 顯然開集族覆蓋了,由于是緊集，因此存在有限個鄰域 (m) ,由(*)式得, 因此不是的聚點(diǎn), 所以,這說明,即是閉集.定理5及定理6說明，在中緊集與有界閉集是一致的。3）定義4 設(shè) 如果 就稱 是自密集，換句話說，當(dāng)集合中每點(diǎn)都是這個集的聚點(diǎn)時，這個集就是自密集。例如，空集是自密集，中有理數(shù)全體所組成的集是自密集.定義5 設(shè) ，如果 則稱為完備集或完全集完備集就是自密閉集，也就是沒有孤立點(diǎn)的閉集。表面上看倆，既然一個完備集合一方面是閉集，而另一方面每一點(diǎn)又都是聚點(diǎn)，似乎它就會鋪滿空間的一小塊，但這是一種錯覺。4 直線上的開集、閉集及完備集的構(gòu)造本節(jié)中我們將討論直線上（即中）開集與閉集的構(gòu)造。雖然開集一般來說不一定是開區(qū)間，但同一看出非空開集是一系列開區(qū)間的和集。為此先引入構(gòu)成區(qū)間的概念。如果開區(qū)間，而且端點(diǎn)不屬于，那么稱為的構(gòu)成區(qū)間。（開集不一定是開區(qū)間，開區(qū)間一定是開集）定理1 （開集構(gòu)造定理） 直線上任一個非空開集可以表示成有限個或可數(shù)個互不相交的構(gòu)成區(qū)間的和集。（1） 開集G的任何兩個不同的構(gòu)成區(qū)間必不相交。這時必有一個區(qū)間的端點(diǎn)在另一個區(qū)間內(nèi)，例如，但 ，這和矛盾。再由第一章167。（2）開集中任何一點(diǎn)必含在一個構(gòu)成區(qū)間中。因?yàn)镚是開集，不會空。顯然。先證，任意取，不妨設(shè)。因此，由此順便得到。這就是說是G的構(gòu)成區(qū)間。由（2），它應(yīng)是G；由（1），G必定是有限個或可數(shù)個互不相交的構(gòu)成區(qū)間的和集。既然閉集的余集是開集，你們從開集的構(gòu)造可以引入余區(qū)間的概念。我們又可以得到閉集的構(gòu)造如下。